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\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defi}{Def}
\newtheorem*{propi}{Prop}
\newcommand{\me}[1]{\textbf{#1}}

\newcommand{\real}{\mathbb{R}}
\newcommand{\nat}{\mathbb{N}}

\newcommand{\nsimplex}[1][n]{\Delta^{#1}}
\newcommand{\ord}[1]{\left[#1\right]}

\newcommand{\cat}[1][C]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\op}[1]{#1^{\text{op}}}
\newcommand{\natt}[2]{#1 \Rightarrow #2}
\newcommand{\Hom}[3]{\mathrm{Hom}_{#1} (#2,#3)}

% Common Categories
\newcommand{\Set}{\mathsf{Set}}
\newcommand{\Simplex}{\mathsf{\Delta}}
\newcommand{\SSet}{\mathsf{SSet}}
\newcommand{\Top}{\mathsf{Top}}

\title{Einführung in die kategorielle Homotopietheorie}
\author{Florian Guthmann\\
\texttt{florian.guthmann@fau.de}}
\begin{document}
\maketitle{}

\section{Kategorieller Hintergrund}\label{sec:background}

\section{(Ko)limiten}\label{sec:limits}

\section{Kan-Erweiterungen}\label{sec:kan-extensions}

\section{(Ko)enden}\label{sec:ends}

\section{Simpliziale Objekte}\label{sec:simplicial-objects}
\begin{defi}[5.1.2]
  Sei $(e_{1},\dots,e_{n})$ die Standardbasis von $\real^{n}$ und $e_{0} \coloneqq 0 \in \real^{n}$.
  \begin{enumerate}
  \item Der \me{Standard-$n$-Simplex} $\nsimplex{}\subset \real^{n}$ ist der geordnete $n$-Simplex $[e_{0},\dots,e_{n}]$.
  \item Für $n \in \nat$ und $i \in \{0,\dots,n\}$ ist die affin-lineare $i$-te \me{Seitenabbildung} $f^{n}_{i} : \nsimplex{n-1} \to \nsimplex{}$ und \me{Degeneration} $s^{n}_{i} : \nsimplex{n+1} \to \nsimplex{}$ gegeben durch
    \[
      f^{n}_{i}(e_{j}) =
      \begin{cases}
        e_{j} & j < i\\
        e_{j+1} & j \geq i\\
      \end{cases}\\\qquad
      s^{n}_{i}(e_{j}) =
      \begin{cases}
        e_{j} & j \leq i\\
        e_{j-1} & j > i
      \end{cases}
    \]
  \end{enumerate}
\end{defi}
\begin{defi}[5.2.1]\hfill\break
  \begin{enumerate}
  \item Die \me{Simplexkategorie $\Simplex$} hat
    \begin{itemize}
    \item als Objekte die endlichen Ordinalzahlen $\ord{n} = \{0,1,\dots,n-1\}$ für $n \in \nat$
    \item als Morphismen $f : \ord{m} \to \ord{n}$ schwach monotone Abbildungen
    \end{itemize}
  \item Die $i$-te \me{Seitenabbildung} $\delta^{i}_{n} : \ord{n} \to \ord{n+1}$ für $i \in \ord{n + 1}$ und
    die $j$-te \me{Degeneration} $\sigma^{j}_{n} : \ord{n+1} \to \ord{n}$ sind gegeben durch
    \[
      \delta^{i}_{n}(k) =
      \begin{cases}
        k & 0 \leq k < i\\
        k + 1 & i \leq k < n
      \end{cases}\\\qquad
      \sigma^{i}_{n} =
      \begin{cases}
        k & 0 \leq k \leq j\\
        k - 1 & j < k \leq n
      \end{cases}
    \]
  \end{enumerate}
\end{defi}
\begin{propi}[5.2.2]\hfill\break
  \begin{enumerate}
  \item Jeder Morphismus $f : \ord{m} \to \ord{n}$ kann als Komposition von Seitenabbildungen und Degenerationen ausgedrückt werden:
    \[
      f = \delta^{i_{1}}_{n-1} \circ \dots \circ \delta^{i_{k}}_{m - l} \circ \sigma^{j_{1}}_{m-l} \circ \dots \circ \sigma^{j_{l}}_{m-1}
    \]
    wobei $n = m - l + k$ und $0 \leq i_{k} < \dots < i_{1} < n$, $0 \leq j_{1} < \dots < j_{l} < m -1$
  \item Es gelten die Relationen:
    \begin{align*}
      \delta^{i}_{n+1} \circ \delta^{j}_{n} =& \delta^{j+1}_{n+1} \circ \delta^{i}_{n} & \text{ für } i \leq j\\
      \sigma^{j}_{n} \circ \sigma^{i}_{n+1} =& \sigma^{i}_{n} \circ \delta^{j+1}_{n+1} & \text{ für } i \leq j\\
      \sigma^{j}_{n} \circ \delta^{i}_{n} =&
      \begin{cases}
        \delta^{i}_{n-1} \circ \sigma^{j-1}_{n-1} & i < j\\
        1_{\ord{n}} & i \in \{j, j + 1\}\\
        \delta^{i-1}_{n-1} \circ \sigma^{j}_{n-1} & i > j + 1
      \end{cases} &\\
    \end{align*}
   
  \end{enumerate}
\end{propi}

\begin{defi}[5.2.4]
  Sei $\cat$ eine Kategorie.\\
  Ein \me{(ko)simpliziales Objekt} in $\cat$ ist ein Funktor $S : \op{\Simplex} \to \cat$ ($S : \Simplex \to \cat$) und ein \me{(ko)simplizialer Morphismus} zwischen (ko)simplizialen Objekten $S$ und $S'$ ist eine natürliche Transformation $\lambda : \natt{S}{S'}$
  Ein (ko)simpliziales Objekt in $\Set$ ist eine \me{(ko)simpliziale Menge}, ein (ko)simplizialer Morphismus in $\Set$ eine \me{(ko)simpliziale Abbildung}.
  Simpliziale Mengen und Abbildungen bilden die Kategorie $\SSet = \Set^{\op{\Simplex}}$.
\end{defi}
\begin{defi}[5.2.7]
  Für jedes kosimpliziale Objekt $F : \Simplex \to \cat$ in $\cat$ ist $\Hom{\cat}{F(-),-} : \cat \to \SSet$ ein Funktor der:
  \begin{itemize}
  \item einem Objekt $C$ die simpliziale Menge $\Hom{\cat}{F(-)}{C} : \op{\Simplex} \to \Set$
  \item einem Morphismus $c : C \to C'$ die simpliziale Abbildung
    \[
      \Hom{\cat}{F(-)}{c} : \natt{\Hom{\cat}{F(-)}{C}}{\Hom{\cat}{F(-)}{C'}}
    \]
  \end{itemize}
  zuweist.
\end{defi}
\begin{defi}
  Für $\cat = \Top$ sei $F : \Simplex \to Top$ ein kosimpliziales Objekt mit
  \[
    T_{n} = \Delta^{n},\\
    T(\delta^{i}_{n}) = f^{n}_{i} : \Delta^{n-1} \to \Delta^{n},\\
    T(\sigma^{i}_{n_+1}) = s^{n}_{i} : \Delta^{n+1} \to \Delta^{n}
  \].
  Dann ist der \me{singuläre Nerv} der Funktor $\Hom{}{T(-)}{-} : \Top \to \SSet$ der
  \begin{itemize}
  \item einem topologischem Raum $X$ die simpliziale Menge $S^{X}$ mit
    \[
      S^{X}_{n} =\Hom{\Top}{\Delta^{n}}{X}$,\\
      d^{i}_{n} : \Hom{}{\Delta^{n}}{X} \to \Hom{}{\Delta^{n-1}}{X}, \sigma \mapsto \sigma \circ f^{n}_{i},\\
      s^{i}_{n} : \Hom{}{\Delta^{n}}{X} \to \Hom{}{\Delta^{n+1}}{X}, \sigma \mapsto \sigma \circ s^{i}_{n},\\
    \]
  \end{itemize}
\end{defi}
\section{Homotopien}\label{sec:homotopies}

\section{Kan-Komplexe und Quasikategorien}\label{sec:quasi-categories}

\end{document}
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%%% TeX-master: t
%%% End:
