Topologie (10 ECTS) SS24
| Prüfer | Kang Li |
| Beisitzer | Tobias Simon |
| Datum |
Fangen Sie an!
Womit?
Mit welchen Thema würden Sie denn gerne anfangen?
Kompaktheit
Ok. Was ist denn die Definition?
Jede offene Überdeckung besitzt eine endliche Teilüberdeckung.
Wie hängt Kompaktheit mit Abgeschlossenheit zusammen?
In einem Hausdorffraum sind kompakte Teilmengen abgeschlossen.
Abgeschlossene Teilmengen eines kompakten Raums sind kompakt.
Was ist die universelle Eigenschaft der Produkttopologie?
Sei \(X_i\) eine Familie kompakter Räume. Ist dann ihr Produkt kompakt?
Ja, das ist der Satz von Tychonoff.
Mit welcher Topologie?
Mit der Produkttopologie.
Sei \(X_i\) eine Familie topologischer Räume. Nennen sie die Basis der Produkttopologie
\[
\{(O_i)_{i \in I} \mid O_i = X_i\ \text{für fast alle}\ i \in I\}
\]
Was ist eine Fundamentalgruppe?
Der Funktor \(\pi_1\colon X* \to \mathsf{Grp}\) weißt einem punktierten
topologischen Raum \((x,X)\) die Gruppe der Äquivalenzklassen (unter
Homotopie) der Wege in \(X\) von \(x\) nach \(x\) zu.
Wie funktioniert da dann die Multiplikation?
\[
[f] \otimes [g] = t\mapsto \begin{cases}
f(2i)& \text{für}\ 0 \leq t \leq 0.5\\
g(2i-1)& \text{für}\ 0.5 \leq t \leq 1\\
\end{cases}
\]
Sei \(f \colon X \to Y\). Wie schaut dann die Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen aus?
Was ist eine Überlagerung?
Eine stetige Abbildung \(q \colon X \to Y\) wobei für jedes \(y \in Y\) eine Umgebung \(U \in \mathcal{U}(x)\) existiert mit \(q^{-1}(U) = \biguplus_{i \in I}V_i\) und \(\left.q\right\rvert_{V_i}\)
Nennen Sie drei Überlagerungen von \(S^1\)!
- \(t \mapsto e^{2\pi it}\)
- \(\mathrm{id} \colon S^1 \to S^1\)
- \(x \mapsto x^n\) für \(n \in \mathbb{Z}\)
Können Sie mir sagen was eine Decktransformation ist?
nein.
Gilt \(S^1 \cong S^1 \times S^1\)?
Nein, da die Räume ja nicht homotopieäquivalent sind.
Warum?
Da \(\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}\) und \(\pi_1(S^1 \times S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\).
Was ist die Quotiententopologie?
Sei \(X\) ein Raum und \(\sim \subseteq X^2\) eine Äquivalenzrelation. Dann ist die Quotiententopologie auf \(X/_\sim\) die von der Surjektion \(\pi \colon X \to X/_\sim\) induzierte Finaltopologie.
Ist \(\pi\) dann stetig?
Ja, die Finaltopologie enthält ja genau so viele offene Mengen, dass \(\pi\) noch stetig ist.
Sei \(g \colon X \to Y\) stetig und surjektiv, X kompakt und Y hausdorffsch. Sei \(\sim \subseteq X^2\) definiert durch \(x \sim y \iff g(x) = g(y)\). Zeigen sie \(X \cong Y\).
Nach der universellen Eigenschaft der Quotiententopologie ist \(g\)
injektiv. Da \(X\) kompakt und \(Y\) hausdorffsch, ist \(f\)
abgeschlossen. Dann ist \(f\) ein Homöomorphismus.
Fazit
Angenehme Prüfungsatmosphäre, vor allem vom Beisitzer wird hilfreich
nachgehakt wenn man mal stockt.
Zu meiner Leistung:
Du hast ja das Meiste gewusst, aber öfters erst nach etwas Mithilfe. Deshalb 1,7.