#+title: Topologie (10 ECTS) SS24
#+author: Florian Guthmann
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| Prüfer    | Kang Li         |
| Beisitzer | Tobias Simon    |
| Datum     | <2024-08-05 Mo> |

* Fangen Sie an!
Womit?

* Mit welchen Thema würden Sie denn gerne anfangen?
Kompaktheit

* Ok. Was ist denn die Definition?
Jede offene Überdeckung besitzt eine endliche Teilüberdeckung.

* Wie hängt Kompaktheit mit Abgeschlossenheit zusammen?
In einem Hausdorffraum sind kompakte Teilmengen abgeschlossen.
Abgeschlossene Teilmengen eines kompakten Raums sind kompakt.

* Was ist die universelle Eigenschaft der Produkttopologie?
[[file:res/product.svg]]

* Sei $X_i$ eine Familie kompakter Räume. Ist dann ihr Produkt kompakt?
Ja, das ist der Satz von Tychonoff.

* Mit welcher Topologie?
Mit der Produkttopologie.

* Sei $X_i$ eine Familie topologischer Räume. Nennen sie die Basis der Produkttopologie
\[
\{(O_i)_{i \in I} \mid O_i = X_i\ \text{für fast alle}\ i \in I\}
\]

* Was ist eine Fundamentalgruppe?
Der Funktor $\pi_1\colon X* \to \mathsf{Grp}$ weißt einem punktierten
topologischen Raum $(x,X)$ die Gruppe der Äquivalenzklassen (unter
Homotopie) der Wege in $X$ von $x$ nach $x$ zu.

* Wie funktioniert da dann die Multiplikation?
\[
[f] \otimes [g] = t\mapsto \begin{cases}
f(2i)& \text{für}\ 0 \leq t \leq 0.5\\
g(2i-1)& \text{für}\ 0.5 \leq t \leq 1\\
\end{cases}
\]

* Sei $f \colon X \to Y$. Wie schaut dann die Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen aus?
\begin{align*}
\pi_1(f) &\colon \pi_1(X) \to \pi_1(Y)\\
[g] \mapsto [f \circ g]
\end{align*}

* Was ist eine Überlagerung?
Eine stetige Abbildung $q \colon X \to Y$ wobei für jedes $y \in Y$ eine Umgebung $U \in \mathcal{U}(x)$ existiert mit $q^{-1}(U) = \biguplus_{i \in I}V_i$ und $\left.q\right\rvert_{V_i}$

* Nennen Sie drei Überlagerungen von $S^1$!
- $t \mapsto e^{2\pi it}$
- $\mathrm{id} \colon S^1 \to S^1$
- $x \mapsto x^n$ für $n \in \mathbb{Z}$

* Können Sie mir sagen was eine Decktransformation ist?
nein.

* Gilt $S^1 \cong S^1 \times S^1$?
Nein, da die Räume ja nicht homotopieäquivalent sind.

* Warum?
Da $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ und $\pi_1(S^1 \times S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.

* Was ist die Quotiententopologie?
Sei $X$ ein Raum und $\sim \subseteq X^2$ eine Äquivalenzrelation. Dann ist die Quotiententopologie auf $X/_\sim$ die von der Surjektion $\pi \colon X \to X/_\sim$ induzierte Finaltopologie.

* Ist $\pi$ dann stetig?
Ja, die Finaltopologie enthält ja genau so viele offene Mengen, dass $\pi$ noch stetig ist.

* Sei $g \colon X \to Y$ stetig und surjektiv, X kompakt und Y hausdorffsch. Sei $\sim \subseteq X^2$ definiert durch $x \sim y \iff g(x) = g(y)$. Zeigen sie $X \cong Y$.
  [[file:res/quotient.svg]]
Nach der universellen Eigenschaft der Quotiententopologie ist $g$
injektiv. Da $X$ kompakt und $Y$ hausdorffsch, ist $f$
abgeschlossen. Dann ist $f$ ein Homöomorphismus.

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* Fazit
Angenehme Prüfungsatmosphäre, vor allem vom Beisitzer wird hilfreich
nachgehakt wenn man mal stockt.

Zu meiner Leistung:
#+begin_quote
Du hast ja das Meiste gewusst, aber öfters erst nach etwas Mithilfe. Deshalb 1,7.
#+end_quote