% Eine inoffizielle Zusammenfassung der relevanten Definitionen und
% Theoreme der Vorlesung „Topologie und Anwendungen” im SS24.
% Ausgelegt auf das Setzen mit XeLaTeX (https://xetex.sourceforge.net).
% Author: Florian Guthmann <florian.guthmann@fau.de>
% URL:    https://wwwcip.cs.fau.de/~oc45ujef/lectures/topologie/topologie.tex
% $Id: topologie.tex,v 1.34 2024/08/05 10:14:02 oc45ujef Exp oc45ujef $
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\title{Topologie und Anwendungen\\
  \small{}\url{https://wwwcip.cs.fau.de/~oc45ujef/lectures/topologie/topologie.tex}
}

\author{\texttt{florian.guthmann@fau.de}}

\begin{document}
\maketitle{}

\section{Grundlagen}\label{sec:basics}
\begin{definition}[Äquivalenzrelation]\label{def:equivalence}
  Sei \(X\) eine Menge, \(R \subseteq X \times X\) eine Relation auf \(X\). Man nennt \(R\) \me{Äquivalenzrelation} wenn
  \begin{description}
  \item[reflexiv:] \(\all{x \in X}{\tuple{x}{x} \in R}\)
  \item[symmetrisch:]
    \(\all{x, y \in X}{\tuple{x}{y} \in R \implies \tuple{y}{x} \in R}\)
  \item[transitiv:]
    \(\all{x, y, z \in X}{\tuple{x}{y} \in R \land \tuple{y}{z} \in R
      \implies \tuple{x}{z} \in R}\)
  \end{description}
\end{definition}

\begin{definition}[Halbordnung]\label{def:partial-order}
  Eine \me{Halbordnung} \(\leq \subseteq M \times M\) auf einer Menge \(M\) ist eine Relation mit
  \begin{description}
  \item[Reflexivität] \(m \leq m\) für alle \(m \in M\)
  \item[Transitivität] \(m \leq n \land n \leq p \implies m \leq p\) für alle \(m,n,p \in M\)
  \item[Antisymmetrie] \(m \leq n \land n \leq m \implies m = n\) für alle \(m,n \in M\)
  \end{description}

  Eine \mel{totale Ordnung}{def:total-order} ist eine Halbordnung
  \((M, \leq)\) mit \(m \leq n \lor n \leq m\) für alle \(m,n \in M\).

  Ein Element \(x \in A\) in einer Teilmenge \(A\) einer Halbordnung
  \(M\) heißt \mel{maximal}{def:maximal-element}, wenn \(m \leq x\)
  für alle \(m \in A\).

  Eine \mel{Kette}{def:chain} in einer Halbordnung \((M, \leq)\) ist
  eine Teilmenge \(K \subseteq M\) die
  \hyperref[def:total-order]{total geordnet} ist.

  Eine Menge \(M\) heißt \mel{induktiv geordnet}{def:inductive-order}
  wenn jede \hyperref[def:chain]{Kette} \(K \subseteq M\) ein
  \hyperref[def:maximal-element]{maximales Element} besitzt.
\end{definition}

\begin{lemma}[\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Max_August_Zorn}{Zorn}]\label{lem:zorn}
  Jede nicht leere \hyperref[def:inductive-order]{induktiv geordnete}
  Menge \(M\) besitzt ein \hyperref[def:maximal-element]{maximales
    Element}.
\end{lemma}

\begin{remark}[Urbilder]
  Sei \(\typesto{f}{X \to Y}\), \(A, B, A_{i} \subseteq Y\) dann gilt:
  \begin{align*}
    \preimage{f}{Y} &= X\\
    \preimage{f}{A \setminus B} &= \preimage{f}{A} \setminus \preimage{f}{B}\\
    \preimage{f}{\bigcup\textstyle_{i \in I} A_{i}} &= \bigcup\textstyle_{i \in I}\preimage{f}{A_{i}}\\
    \preimage{f}{\bigcap\textstyle_{i \in I} A_{i}} &= \bigcap\textstyle_{i \in I}\preimage{f}{A_{i}}\\
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{remark}
  Eine Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) ist
  \begin{description}
  \item[injektiv]\label{def:injective} wenn
    \(\all{a, b \in X}{f(a) = f(b) \implies a = b}\)
  \item[surjektiv]\label{def:surjective} wenn
    \(\all{y \in Y}{\ex{x \in X}{f(x) = y}}\)
  \item[bijektiv]\label{def:bijective} wenn \(f\) injektiv und
    surjektiv
  \end{description}
\end{remark}

\begin{definition}\label{def:carrier}
  Sei \(X\) eine Menge und \(\typesto{f}{X \to \R}\) eine
  Abbildung. Der \me{Träger} von \(f\) ist die Menge
  \(\{x \in X \mid f(x) \neq 0\}\).
\end{definition}

\begin{definition}[(Ko)\,Einschränkung]
  Sei \(\typesto{f}{X \to Y}\) eine Abbildung und \(A \subseteq X\)
  eine Teilmenge. Dann ist die \mel{Einschränkung}{def:restriction}
  \(\typesto{\restr{f}{A}}{A \to Y}\) gegeben durch
  \(\restr{f}{A}(x) = f(x)\).

  Sei \(B \subseteq Y\). Dann ist die
  \mel{Koeinschränkung}{def:corestriction} die eindeutige Abbildung
  \(\typesto{\corestr{f}{B}}{X \to B}\) mit
  \(f = \iota_{B} \circ \corestr{f}{B}\).  Sie existiert \gdw{}
  \(\image{f}{X} \subseteq B\).
\end{definition}

\subsection{Algebra}\label{sec:algebra}
\begin{definition}[Monoid]\label{def:monoid}
  Ein \me{Monoid} ist eine Menge \(M\) mit einer Abbildung
  \(\typesto{\mathord \otimes}{M \times M \to M}\) (Multiplikation) und
  \mel{neutralem Element}{def:neutral-element} \(e \in M\) sodass
  \begin{description}
  \item[Assoziativität]
    \(a \otimes (b \otimes c) = (a \otimes b) \otimes c\) für alle
    \(a, b, c \in M\).
  \item[Links- und Rechtsneutralität]
    \(e \otimes a = a = a \otimes e\) für alle \(a \in M\).
  \end{description}
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:monoid-homomorphism}
  Seien \((X, \otimes, e_{X})\) und \((Y, \oplus, e_{Y})\) Monoide. Eine Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt \me{Monoidhomomorphismus}, wenn
  \begin{itemize}
  \item \(f(a \otimes b) = f(a) \oplus f(b)\) für alle \(a, b \in X\)
  \item \(f(e_{X}) = e_{Y}\)
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{lemma}
  \hyperref[def:monoid]{Monoide} und
  \hyperref[def:monoid-homomorphism]{Monoidhomomorphismen} bilden die
  Kategorie \textsf{Mon}.
\end{lemma}

\begin{definition}[Gruppe]\label{def:group}
  Eine \me{Gruppe} ist ein \hyperref[def:monoid]{Monoid}
  \((M, \mathord\otimes, e)\) mit einer Abbildung
  \(\typesto{\inv{(-)}}{M \to M}\) sodass
  \[
    a \otimes \inv{a} = e = \inv{a} \otimes a
  \]
  für alle \(a \in X\).

  \noindent{}Eine Gruppe heißt \mel{abelsch}{def:abelian-group}, wenn \(\otimes\)
  kommutativ ist.
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:group-homomorphism}
  Seien \((X, \otimes, e_{X}, \inv{(-)})\) und
  \((Y, \otimes, e_{Y}, \inv{(-)})\) \hyperref[def:group]{Gruppen}. Eine Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt \me{Gruppenhomomorphismus}, wenn \(f\) ein \hyperref[def:monoid-homomorphism]{Monoidhomomorphismus} ist und
  \[
    f\left(\inv{a}\right)=\inv{f(a)}
  \]
  für alle \(a \in X\).
\end{definition}

\begin{lemma}
  \hyperref[def:group]{Gruppen} und
  \hyperref[def:monoid-homomorphism]{Gruppenhomomorphismen} bilden die
  Kategorie \textsf{Grp}.
\end{lemma}

\begin{definition}[Körper]\label{def:field}
  Ein \me{Körper} ist eine Menge \(\mathbb{F}\) mit Abbildungen
  \(\typesto{\mathord +, \mathord \cdot}{\mathbb{F} \times \mathbb{F}
    \to \mathbb{F}}\), genannt Addition und Multiplikation, sodass
  \begin{itemize}
  \item \(\tuple{\mathbb{F}}{\mathord +}\) bildet eine
    \hyperref[def:abelian-group]{abelsche Gruppe} mit neutralem
    Element \(0 \in \mathbb{F}\).
  \item \(\tuple{X}{\cdot}\) bildet einen
    \hyperref[def:monoid]{Monoid} mit neutralem Element
    \(1 \in \mathbb{F}\).
  \item \(\cdot\) distributiert über \(\mathord +\):
    \[
      a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)\ \text{für alle}\ a,
      b, c \in \mathbb{F}
    \]
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}[Vektorraum]\label{def:vector-space}
  Ein Vektorraum \(V\) über einem \hyperref[def:field]{Körper}
  \(\mathbb{F}\) ist eine Menge \(V\) mit Abbildungen
  \(\typesto{+}{V \times V \to V}\) und
  \(\typesto{\cdot}{\mathbb{F} \times V \to V}\), genannt
  Vektoraddition und Skalarmultiplikation, sodass
  \begin{itemize}
  \item \(\tuple{V}{+}\) formen eine
    \hyperref[def:abelian-group]{abelsche Gruppe} mit neutralem
    Element \(0 \in V\).
  \item
    \(a \cdot (b \cdot \mathbf{v}) = (a \cdot b) \cdot \mathbf{v}\)
    für alle \(a,b \in \mathbb{F}\), \(\mathbf{v} \in V\).
  \item \(1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}\) für alle
    \(\mathbf{v} \in V\), wobei \(1 \in \mathbb{F}\) das neutrale
    Element bezüglich der Körpermultiplikation ist.
  \item
    \(a \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = (a \cdot \mathbf{u}) + (a
    \cdot \mathbf{v})\) für alle \(a \in \mathbb{F}\),
    \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\).
  \item
    \((a + b) \cdot \mathbf{v} = (a \cdot \mathbf{v}) + (b \cdot
    \mathbf{v})\) für alle \(a, b \in \mathbb{F}\),
    \(\mathbf{v} \in V\).
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}[Lineare Abbildungen]\label{def:linear-map}
  Seien \(V\) und \(W\) \hyperref[def:vector-space]{Vektorräume} über einem Körper \(\mathbb{F}\). Eine Abbildung \(\typesto{f}{V \to W}\) heißt \me{linear} wenn für alle \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\), \(c \in \mathbb{F}\) gilt:
  \begin{itemize}
  \item \(f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})\)
  \item \(f(c \cdot \mathbf{u}) = c \cdot f(\mathbf{u})\)
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}[Differenzierbarkeit]\label{def:differentiable}
  Eine Abbildung \(\typesto{f}{\R^{m} \to \R^{n}}\) heißt
  \me{differenzierbar in einem Punkt \(x_{0}\)} wenn eine
  \hyperref[def:linear-map]{lineare Abbildung}
  \(\typesto{J}{\R^{m} \to \R^{n}}\) existiert mit
  \[
    \lim_{h \longrightarrow 0}\frac{\norm{f(x_{0}+h) - f(x_{0}) - J(h)}{\R^{n}}}{\norm{h}{\R^{m}}} = 0
  \]
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:continuously-differentiable}
  Eine Abbildung \(f\) heißt stetig differenzierbar, wenn sie
  \hyperref[def:differentiable]{differenzierbar} und ihre Ableitung
  \hyperref[def:continuous]{stetig} ist.
\end{definition}

\subsection{Metrische Räume}\label{sec:metric-spaces}
\begin{definition}[Metrischer Raum]\label{def:metric-space}
  Ein \me{metrischer Raum} ist eine Menge \(M\) mit einer Abbildung \(\typesto{d}{M^{2} \to \R}\) mit
  \begin{description}
  \item[Positivität:] \(d(x,y) \geq 0\) und
    \(d(x,y) = 0 \biimplies x = y\) für alle \(x,y \in M\)
  \item[Symmetrie] \(d(x,y) = d(y,x)\) für alle \(x,y \in M\)
  \item[Dreiecksungleichung] \(d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)\) für alle
    \(x,y,z \in M\)
  \end{description}
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:open-ball}
  Sei \(\tuple{M}{d}\) ein metrischer Raum, \(x \in M\).  Der \me{offene Ball} von Radius \(r\) um \(x\) ist
  \[
    \ball{r}{x} \coloneq \{y \in M \mid d(x,y) < r\}
  \]
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:bounded-set}
  Eine Teilmenge \(S\) eines metrischen Raumes \(\tuple{M}{d}\) heißt
  \me{beschränkt}, wenn ein \(r > 0\) existiert mit \(d(x,y) < r\) für
  alle \(x,y \in M\).
\end{definition}

\subsection{Kategorientheorie} \label{sec:category-theory}
\begin{definition}\label{def:category}
  Eine \me{Kategorie} \(\mathcal{C}\) besteht aus
  \begin{itemize}
  \item einer \hyperref[def:class]{Klasse} \(\Ob\mathcal{C}\) von \mel{Objekten}{def:cat-object}
  \item für \(X, Y \in \Ob \mathcal{C}\) einer Menge
    \(\Hom{\mathcal{C}}{X}{Y}\) von \mel{Morphismen}{def:cat-morphism}
  \item für \(X, Y, Z \in \Ob \mathcal{C}\) einer \mel{Kompositionsabbildung}{def:cat-composition}
    \[
      \typesto{\mathord\circ}{\Hom{\mathcal{C}}{Y}{Z} \times \Hom{\mathcal{C}}{X}{Y} \to \Hom{\mathcal{C}}{X}{Z}}
    \]
  \end{itemize}
  sodass
  \begin{itemize}
  \item \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\) für alle \(f\),
    \(g\), \(h\) in den entsprechenden Hom-Mengen.
  \item für alle \(X \in \Ob \mathcal{C}\) ist
    \(\id_{X} \in \Hom{\mathcal{C}}{X}{X}\) mit
    \(\id_{X} \circ f = f\) und \(g \circ \id_{X} = g\) für \(f\),
    \(g\) in den entsprechenden Hom-Mengen.
  \end{itemize}
\end{definition}
\begin{notation}
  \(\typesto{f}{X \to Y} \coloneq f \in \Hom{\mathcal{C}}{X}{Y}\)
\end{notation}

\begin{definition}\label{def:small-cat}
  Eine Kategorie \(\mathcal{C}\) heißt \me{klein} wenn
  \(\Ob(\mathcal{C})\) eine echte Menge ist.
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:isomorphism}
  Ein Morphismus \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt \me{Isomorphismus}
  wenn ein \(\typesto{g}{Y \to X}\) existiert mit
  \(g \circ f = \id_{X}\) und \(f \circ g = \id_{Y}\).
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:quotient-category}
  Sei \(\mathcal{C}\) eine Kategorie mit
  \hyperref[def:equivalence]{Äquivalenzrelationen}
  \(\sim_{X,Y} \subseteq \Hom{\mathcal{C}}{X}{Y}^{2}\) mit

  \begin{align*}
    f \sim_{X,Y} f' \in \Hom{\mathcal{C}}{X}{Y} \land g \sim_{Y,Z} g' \in \Hom{\mathcal{C}}{Y}{Z} &\implies\\
    g \circ f \sim_{X,Z} g' \circ f'&
  \end{align*}
  Dann existiert die \me{Quotientenkategorie} \(\mathcal{C}_{\sim}\)
  mit Objekten \(\Ob(\mathcal{C}_{\sim}) \coloneq \Ob(\mathcal{C})\)
  und Morphismen
  \(\Hom{\mathcal{C}_{\sim}}{X}{Y} \coloneq
  \quotient{\Hom{\mathcal{C}}{X}{Y}}{\sim_{X,Y}}\)
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:groupoid}
  Eine \hyperref[def:small-cat]{kleine} Kategorie in der jeder Morphismus ein \hyperref[def:isomorphism]{Isomorphismus} ist heißt \me{Gruppoid}.
\end{definition}

\begin{definition}[Funktor]\label{def:functor}
  Seien \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) Kategorien. Ein \me{Funktor}
  \(\typesto{F}{\mathcal{C} \to \mathcal{D}}\) besteht aus:
  \begin{itemize}
  \item einer Zuordnung \(X \mapsto F(X)\), für \(X \in \Ob(\mathcal{C})\)
  \item für zwei Objekte \(X, Y \in \Ob(\mathcal{C})\) einer Abbildung
    \[
      \Hom{\mathcal{C}}{X}{Y} \to \Hom{\mathcal{D}}{F(X)}{F(Y)}
    \]
  \end{itemize}
  sodass
  \begin{align*}
    F(f \circ g) &= F(f) \circ F(g)\\
    F(\id_{X}) &= \id_{F(X)}
  \end{align*}
  für alle \(X, Y, Z \in \Ob(\mathcal{C})\), \(f \in \Hom{\mathcal{C}}{X}{Y}\), \(g \in \Hom{\mathcal{C}}{Y}{Z}\)
\end{definition}

\begin{definition}[Natürliche Transformationen]\label{def:nat-trans}
  Seien \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) Kategorien und
  \(\typesto{F, G}{\mathcal{C} \to \mathcal{D}}\) Funktoren. Eine
  \me{natürliche Transformation} \(\typesto{\eta}{F \Rightarrow G}\)
  besteht aus \me{Komponentenmorphismen}
  \[
    \typesto{\eta_{X}}{F(X) \to G(X)}
  \]
  für alle \(X \in \Ob(\mathcal{C})\) sodass
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      F(X) \arrow[r, "F(f)"] \arrow[d, "\eta_X"] & F(Y) \arrow[d, "\eta_Y"] \\
      G(X) \arrow[r, "G(f)"]                     & G(Y)                    
    \end{tikzcd}
  \end{center}
  kommutiert für alle \(f \in \Hom{\mathcal{C}}{X}{Y}\).
\end{definition}

\begin{remark}
  Seien \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) Kategorien. Dann bilden
  Funktoren von \(\mathcal{C}\) nach \(\mathcal{D}\) und natürliche
  Transformationen die \me{Funktorkategorie}
  \(\mathcal{D}^{\mathcal{C}}\).
\end{remark}

\begin{example}\label{ex:constant-functor}
  Für Kategorien \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) weist der Funktor
  \(\typesto{\Delta}{\mathcal{D} \to \mathcal{D}^{\mathcal{C}}}\)
  einem Objekt \(X \in \mathcal{D}\) den \me{konstanten Funktor}
  \begin{align*}
    \Delta(X) &\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}\\
    \tikzmarknode{Y}{Y} & \mapsto \tikzmarknode{X1}{X}\\
              &\\
    \tikzmarknode{Z}{Z} & \mapsto \tikzmarknode{X2}{X}\\
  \end{align*}
  \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
    \draw[->] (Y) to node [left] {\(f\)} (Z);
    \draw[->] (X1) to node [right] {\(\id_{X}\)} (X2);
  \end{tikzpicture}
  zu.
\end{example}

\begin{definition}[(Ko)Kegel]\label{def:cone}
  Seien \(\mathcal{J}\), \(\mathcal{C}\) Kategorien. Ein Funktor
  \(\typesto{F}{\mathcal{J} \to \mathcal{C}}\) heißt \me{Diagramm} in
  \(\mathcal{C}\).

  Ein \me{Kegel} mit Kegelspitze \(C \in \Ob(\mathcal{C})\) über einem
  Diagramm \(\typesto{F}{\mathcal{J} \to \mathcal{C}}\) ist eine
  \hyperref[def:nat-trans]{natürliche Transformation}
  \(\typesto{\lambda}{\Delta(C) \Rightarrow F}\), ein \me{Kokegel} mit
  Nadir \(C \in \Ob(\mathcal{C})\) eine natürliche Transformation
  \(\typesto{\gamma}{F \to \Delta(C)}\).

  Ein \me{Kegelmorphismus} zwischen Kegeln
  \(\typesto{\lambda}{\Delta(C) \Rightarrow F}\) und
  \(\typesto{\eta}{\Delta(C') \Rightarrow F}\) ist ein Morphismus
  \(\typesto{f}{C \to C'}\) sodass \(\lambda_{X} = \eta_{X} \circ f\) für alle \(X \in \Ob(\mathcal{J})\).
  Analog werden \me{Kokegelmorphismen} definiert.
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei \(\typesto{F}{\mathcal{J} \to \mathcal{C}}\) ein Diagramm in
  \(\mathcal{C}\).  Die Kegel über \(F\) mit Kegelmorphismen bilden
  die Kategorie \(\mathsf{cone}(F)\). Die Kokegel über \(F\) mit
  Kokegelmorphismen bilden die Kategorie \(\mathsf{cocone}(F)\).
\end{remark}

\begin{definition}[(Ko)Limes]
  Sei \(\typesto{F}{\mathcal{J} \to \mathcal{C}}\) ein Diagramm.

  Ein Objekt \(C \in \Ob(\mathcal{C})\) mit Kegel
  \(\typesto{\lambda}{\Delta(C) \Rightarrow F}\) heißt \mel{Limes}{def:limit} von
  \(F\) wenn für jeden Kegel
  \(\typesto{\eta}{\Delta(C') \Rightarrow F}\) ein eindeutiger
  Kegelmorphismus \(\typesto{h}{C' \to C}\) existiert.

  Ein Objekt \(C \in \Ob(\mathcal{C})\) mit Kokegel
  \(\typesto{\gamma}{F \Rightarrow \Delta(C)}\) heißt \mel{Kolimes}{def:colimit} von
  \(F\) wenn für jeden Kokegel
  \(\typesto{\eta}{F \Rightarrow \Delta(C')}\) ein eindeutiger
  Kokegelmorphismus \(\typesto{h}{C \to C'}\) existiert.
\end{definition}

\begin{example}\hspace{0pt}
  \begin{itemize}
  \item Sei \(\mathcal{J}\) die leere Kategorie,
    \(\typesto{F}{\mathcal{J} \to \mathcal{C}}\).  Der
    \hyperref[def:limit]{Limes} von \(F\) heißt dann \me{terminales
      Objekt} von \(\mathcal{C}\).  Der
    \hyperref[def:colimit]{Kolimes} von \(F\) heißt \me{initiales
      Objekt} von \(\mathcal{C}\).
  \item Sei \(\mathcal{J} \coloneq \{\bullet_{A}\quad \bullet_{B}\}\),
    \(\typesto{F}{\mathcal{J} \to \mathcal{C}}\).  Der Limes von \(F\)
    ist das \mel{Produkt}{def:cat-product}
    \(F(\bullet_{A}) \times F(\bullet_{B})\).
    Der Kolimes von \(F\)
    ist das \mel{Koprodukt}{def:cat-coproduct}
    \(F(\bullet_{A}) + F(\bullet_{B})\).
  \item Sei
    \(\mathcal{J} \coloneq
    \{\bullet_{X}\overset{p}{\to}
    \bullet_{A}\overset{q}{\leftarrow}
    \bullet_{Y}\}\),
    \(\typesto{F}{\mathcal{J} \to \mathcal{C}}\).  Der Limes von \(F\)
    ist der \mel{Pullback}{def:pullback} von \(F(p)\) und \(F(q)\).
  \item Sei
    \(\mathcal{J} \coloneq
    \{\bullet_{X}\overset{p}{\leftarrow}
    \bullet_{A}\overset{q}{\to}
    \bullet_{Y}\}\),
    \(\typesto{F}{\mathcal{J} \to \mathcal{C}}\).  Der Kolimes von \(F\)
    ist der \mel{Pushout}{def:pushout} von \(F(p)\) und \(F(q)\).
  \end{itemize}
\end{example}

\section{Topologische Räume und stetige Abbildungen}\label{sec:top-cont}
\begin{definition}[Topologischer Raum]\label{def:top}
  Für eine Menge \(X\) ist \(\topo{X} \subseteq \power{X}\) eine
  \me{Topologie} auf \(X\) wenn:
  \begin{description}
  \item[T1] \(\emptyset \in \topo{X}\) und \(X \in \topo{X}\)
  \item[T2] wenn \(O_{i} \in \topo{X}\) für alle \(i \in I\) dann
    \(\bigcup_{i \in I}O_{i} \in \topo{X}\)
  \item[T3] wenn \(O_{i} \in \topo{X}\) für alle \(i \in I\) und \(I\)
    endlich, dann \(\bigcap_{i \in I}O_{i} \in \topo{X}\)
  \end{description}

  Eine Teilmenge \(O \subseteq X\) heißt \mel{offen}{def:open-set} in
  \(\tsp{X}\) wenn \(O \in \topo{X}\).  Sie heißt
  \mel{abgeschlossen}{def:closed-set}, wenn \(X \setminus O\) offen
  ist.  Eine Menge die sowohl offen als auch abgeschlossen ist heißt
  \mel{abgeschloffen}{def:clopen-set}.
\end{definition}

\begin{example}\vspace{0pt}
  \begin{itemize}
  \item\label{def:one-point-space} Auf der einelementige Menge
    \(\onep\) existiert genau die Topologie \(\{\emptyset, \onep\}\).
  \end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[Metrische Topologie]\label{ex:metric-topology}
  Sei \(X, d\) ein \hyperref[def:metric-space]{Metrischer Raum}.  Die \me{metrische Topologie} auf \(X\) ist
  \[
    \topo{d} \coloneq \{O \subseteq X \mid \all{x \in O}{\ex{\epsilon > 0}{\ball{\epsilon}{x} \subseteq O}}\}
  \]
\end{example}

\begin{definition}\label{def:fein-grob}
  Sei \(X\) eine Menge und \(\topo{0}, \topo{1}\) Topologien auf
  \(X\). Dann ist \(\topo{0}\) \me{feiner} als \(\topo{1}\) und
  \(\topo{1}\) \me{gröber} als \(\topo{0}\) wenn
  \(\topo{0} \supseteq \topo{1}\).
\end{definition}

\begin{definition}
  Für eine Menge \(X\) sind
  \begin{itemize}
  \item \(\topo{\mathrm{dsk}} \coloneq \power{X}\) die \mel{diskrete Topologie}{def:discrete-topology}
  \item \(\topo{\mathrm{in} \coloneq \{\emptyset, X\}}\) die \mel{indiskrete Topologie}{def:indiscrete-topology}
  \end{itemize}
  Topologien auf \(X\).

  Die diskrete Topologie ist die \hyperref[def:fein-grob]{feinste},
  die indiskrete Topologie die \hyperref[def:fein-grob]{gröbste}
  Topologie auf \(X\).
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:cofinite-topology}
  Für eine Menge \(X\) ist
  \[
    \topo{\mathrm{kof}}\coloneq\{\mathcal{O} \subseteq X \mid X
    \setminus \mathcal{O}\ \text{endlich}\} \cup \{\emptyset\}
  \]
  die \me{kofinite Topologie} auf \(X\).

  Wenn \(X\) endlich ist gilt \(\topo{\mathrm{dsk}} = \topo{\mathrm{kof}}\).
\end{definition}

\begin{definition}[Umgebung]\label{def:neighbourhood}
  Sei \(\tsp{X}\) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge
  \(U \subseteq X\) heißt \me{Umgebung} eines Punktes \(x \in X\) wenn
  eine offene Menge \(O \in \topo{X}, O \subseteq U\) mit \(x \in O\)
  existiert.
\end{definition}
\begin{notation}
  Bezeichne mit \(\nbh{x}\) die Menge der Umgebungen von \(x\).
\end{notation}
\begin{remark}
  Sei \(\tsp{X}\) ein topologischer
  Raum, \(x \in X\). Dann gilt:
  \begin{enumerate}
  \item ist \(U \in \nbh{x}\) und \(U \subseteq V\) so gilt
    \(V \in \nbh{x}\)
  \item Vereinigungen von Umgebungen sind Umgebungen
  \item endliche Schnitte von Umgebungen sind Umgebungen
  \item Eine Teilmenge \(O \subseteq X\) ist offen \gdw{} sie eine
    Umgebung all ihrer Punkte ist.\label{def:open-nbh}
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}\label{def:first-countable}
  Ein topologischer Raum \(X\) erfüllt das
  \me{1.\,Abzählbarkeitsaxiom} wenn für alle \(x \in X\) eine Familie
  \(\family{n \in \N}{U_{n}}\) von Umgebungen \(U_{n} \in \nbh{x}\)
  existiert sodass für jede Umgebung \(U \in \nbh{x}\) ein \(n\) mit
  \(U_{n} \subseteq U\) existiert.  \(\family{n \in \N}{U_{n}}\) heißt
  dann \mel{Umgebungsbasis}{def:neighbourhood-base}.
\end{definition}

Sei \(\tsp{X}\) ein topologischer Raum.
\begin{definition}[Innere]\label{def:interiour}
  Das \me{Innere} \(\interiour{M}\) einer Teilmenge \(M \subseteq X\)
  ist
  \[
    \interiour{M} \coloneq \bigcup_{\mathclap{\substack{O \in \topo{X}\\ O
        \subseteq M}}}O
  \]
\end{definition}
\begin{definition}[Abschluss]\label{def:closure}
  Der \me{Abschluss} \(\closure{M}\) einer Teilmenge \(M \subseteq X\)
  ist
  \[
    \closure{M} \coloneq \bigcap_{\mathclap{\substack{A \subseteq X\ \text{abg.}\\
        M \subseteq A}}}A
  \]
\end{definition}
\begin{definition}[Rand]\label{def:boundary}
  Der \me{Rand} einer Teilmenge \(M \subseteq X\) ist
  \[
    \bound{M} \coloneq \closure{M} \setminus \interiour{M}
  \]
\end{definition}

\begin{definition}
  Eine Teilmenge \(M \subseteq X\) heißt \mel{dicht}{def:dense} in
  \(X\) wenn \(\closure{M} = X\).
\end{definition}

\begin{lemma}
  Seien \tsp{X}, \tsp{Y} topolische Räume und \(Y\)
  \hyperref[def:hausdorff]{hausdorffsch}, \(\typesto{f}{X \to Y}\),
  \(\typesto{g}{X \to Y}\) stetige Abbildungen mit \(f(a) = g(a)\) für
  alle \(a\) in einer \hyperref[def:dense]{dichten} Teilmenge
  \(A \subseteq X\).  Dann gilt \(f = g\).
\end{lemma}

\begin{remark}\label{rem:int-cl-bd-properties}
  Sei \(\tsp{X}\) ein topologischer Raum und \(M \subseteq X\). Dann
  gilt:
  \begin{align*}
    x \in \interiour{M} &\biimplies \ex{U \in \nbh{x}}{U \subseteq M \biimplies M \in \nbh{x}}\\
    x \in \closure{M} &\biimplies \all{U \in \nbh{x}}{U \cap M \neq \emptyset \biimplies X \setminus M \notin \nbh{x}}\\
    x \in \bound{M} &\biimplies \all{U \in \nbh{x}}{U \cap M \neq \emptyset \neq U \cap (X \setminus M)}\\
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{remark}\label{rem:int-cl-demorgan}
  Sei \(\tsp{X}\) ein topologischer Raum, \(A, B \subseteq X\). Dann gilt
  \begin{align*}
    \closure{A \cap B} &\subseteq \closure{A} \cap \closure{B}\\
    \interiour{A} \cup \interiour{B} &\subseteq \interiour{A \cup B}\\
    \closure{A \cup B} &= \closure{A} \cup \closure{B}\\
    \interiour{A} \cap \interiour{B} &= \interiour{A \cap B}\\
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{definition}\label{def:generated-topology}
  Sei \(\mathcal{M} \subseteq \power{X}\). Dann ist
  \[
    \gen{\mathcal{M}} \coloneq \bigcap_{\substack{\mathcal{M} \subseteq
        \mathcal{O} \subseteq \power{X} \\\mathcal{O}\ \text{
          Topologie}}}\mathcal{O}
  \]
  die von \(\mathcal{M}\) \me{erzeugte} Topologie.  Sie ist die
  \hyperref[def:fein-grob]{gröbste} Topologie die \(\mathcal{M}\)
  enthält.
\end{definition}

\begin{example}\label{ex:order-topology}
  Sei \(X\) eine \hyperref[def:total-order]{totale Ordnung}.
  Dann heißt die von der \hyperref[def:subbase]{Subbasis}
  \[
    \bigcup_{x \in X}\{a \in X \mid a < x\} \cup \{b \in X \mid x < b\}
  \]
  generierte Topologie die \me{Ordnungstopologie} auf \(X\).
\end{example}

\begin{definition}
  Sei \(\tsp{X}\) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge
  \(\mathcal{M} \subseteq \power{X}\) heißt
  \begin{description}
  \item[Subbasis]\label{def:subbase} der Topologie \(\topo{X}\) wenn
    \(\topo{X}\) die von \(\mathcal{M}\)
    \hyperref[def:generated-topology]{erzeugte Topologie} ist
    (\(\topo{X} = \gen{\mathcal{M}}\))
  \item[Basis]\label{def:base} der Topologie \(\topo{X}\) wenn
    \(\mathcal{M} \subseteq \topo{X}\) und jede Menge in \(\topo{X}\)
    eine Vereinigung von Mengen aus \(\mathcal{M}\) ist.
  \end{description}
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:second-countable}
  Ein topologischer Raum erfüllt das \me{2.\,Abzählbarkeitsaxiom} wenn
  er eine abzählbare \hyperref[def:base]{Basis} besitzt.
\end{definition}

\begin{example}
  Für alle \(n \in \N\) erfüllt \(\R^{n}\) mit der Standardtopologie
  das \hyperref[def:second-countable]{2.\,Abzählbarkeitsaxiom}.
\end{example}

\begin{lemma}\label{lem:first-if-second-countable}
  Erfüllt ein Raum das
  \hyperref[def:second-countable]{2.\,Abzählbarkeitsaxiom}, so erfüllt
  er auch das \hyperref[def:first-countable]{1.\,Abzählbarkeitsaxiom}.
\end{lemma}

\begin{definition}\label{def:continuous}
  Seien \(\tsp{X}\), \((Y, \topo{Y})\) topologische Räume.  Eine
  Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt \me{stetig} wenn
  \[
    O \in \topo{Y} \implies \preimage{f}{O} \in \topo{X}
  \]
\end{definition}

\begin{remark}[Stetigkeitsbedingungen]
  Eine Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) ist stetig \gdw{}
  \begin{itemize}
  \item das Urbild jeder abgeschlossenen Teilmenge \(A \subseteq Y\)
    abgeschlossen in \(X\) ist.
  \item für alle Teilmengen \(S \subseteq X\) gilt
    \[
      \image{f}{\closure{S}} \subseteq \closure{\image{f}{S}}
    \]
  \end{itemize}
\end{remark}

\begin{remark}[\Top]\label{def:cat-top}
  Topologische Räume und stetige Abbildungen bilden die Kategorie
  \Top. Es gilt also:
  \begin{itemize}
  \item Sind \(\typesto{f}{X \to Y}\) und \(\typesto{g}{Y \to Z}\) so
    ist ihre Komposition \(\typesto{g \circ f}{X \to Z}\) ebenso
    stetig.
  \item Für jeden topologischen Raum \(X\) ist die Identitätsabbildung \(\id_{X}\) stetig.
  \end{itemize}
\end{remark}

\begin{definition}
  Eine Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt
  \begin{itemize}
  \item \mel{offen}{def:open-map} wenn Bilder offener Teilmengen offen sind
  \item \mel{abgeschlossen}{def:closed-map} wenn Bilder abgeschlossener Teilmengen abgeschlossen sind
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}[Homöomorphismen]
  Eine stetige Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt
  \mel{Homöomorphismus}{def:homeomorphism} wenn \(f\)
  \hyperref[def:bijective]{bijektiv} und die Umkehrung
  \(\typesto{f^{-1}}{Y \to X}\) stetig ist. Zwei topologische Räume
  \(X\), \(Y\) heißen \mel{homöomorph}{def:homeomorphic}
  (\(X \cong Y\)) wenn ein Homöomorphismus \(\typesto{f}{X \to Y}\)
  existiert.  Homöomorphismen sind die \hyperref[def:isomorphism]{Isomorphismen} in
  \hyperref[def:cat-top]{\textsf{Top}}.
\end{definition}

\begin{remark}
  Es gilt:
  \begin{align*}
    &f\ \text{Homöomorphismus}\\
    \biimplies & f\ \text{\hyperref[def:bijective]{bijektiv} und
                 \hyperref[def:open-map]{offen}}\\
    \biimplies & f\ \text{\hyperref[def:bijective]{bijektiv} und
                 \hyperref[def:closed-map]{abgeschlossen}}\\
  \end{align*}
\end{remark}

\begin{example}[Homöomorphe Räume]\hspace{0pt}
  \begin{itemize}
  \item \(\homeomorphic{\R^{n}}{\ball{1}{0} \subseteq \R^{n}}\)
  \item \(\homeomorphic{\disk{2}}{\unit^{2}}\)
  \end{itemize}
\end{example}

\section{Zusammenhang und Trennung}\label{sec:connected-separated}
\begin{definition}\label{def:connected}
  Ein topologischer Raum \(\tsp{X}\) heißt \me{zusammenhängend},
  wenn keine disjunkte Zerlegung von \(X\) in zwei nicht leere offene
  Mengen \(O_{0}\), \(O_{1}\) existiert:
  \[
    X = O_{0} \cup O_{1} \text{ mit }, O_{0}
    \cap O_{1} = \emptyset\\
    \implies O_{0} = \emptyset \lor O_{1} = \emptyset
  \]

  Ein topologischer Raum heißt \mel{lokal
    zusammenhängend}{def:local-connected} wenn jede Umgebung eines
  Punktes \(x \in X\) eine zusammenhängende Umgebung von \(x\)
  enthält.
\end{definition}

\begin{definition}[Weg]\label{def:path}
  Sei \(\tsp{X}\) ein topologischer Raum. Eine stetige Abbildung
  \(\typesto{\gamma}{\unit \to X}\) mit \(x \coloneq \gamma(0)\) und
  \(y \coloneq \gamma(1)\) heißt \me{Weg} in \(X\) von \(x\) nach \(y\).

  Seien \(\gamma\) und \(\zeta\) Wege in \(X\) mit
  \(\zeta(0) = \gamma(1)\). Dann existiert ein Weg
  \(\zeta \star \gamma\) (genannt die
  \mel{Verkettung}{def:path-composition} von \(\gamma\) und \(\zeta\))
  von \(\gamma(0)\) nach \(\zeta(1)\) gegeben durch
  \[
    (\zeta \star \gamma)(i) =
    \begin{cases}
      \gamma(2 \cdot i) & i \in [0, \sfrac{1}{2}]\\
      \zeta(2 \cdot i - 1) & i \in [\sfrac{1}{2}, 1]\\
    \end{cases}
  \]

  Sei \(\gamma\) ein Weg in \(X\). Dann existiert ein Weg
  \(\overline{\gamma}\) (genannt die
  \mel{Umkehrung}{def:path-inverse} von \(\gamma\)) von \(\gamma(1)\) nach \(\gamma(0)\) gegeben durch
  \[
    \overline{\gamma}(i) = \gamma(1 - i)
  \]
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:path-connected}
  Ein \me{Weg} von \(x \in X\) nach \(y \in X\) in einem topologischer
  Raum \(\tsp{X}\) ist eine stetige Abbildung
  \(\gamma \colon \unit \to X\) mit \(\gamma(0) = x\) und
  \(\gamma(1) = y\).

  Ein topologischer Raum heißt \me{wegzusammenhängend} wenn zu zwei
  Punkten \(x,y \in X\) immer ein \hyperref[def:path]{Weg} \(\gamma\) von \(x\) nach \(y\)
  existiert.

  Ein topologischer Raum heißt \mel{lokal
    wegzusammenhängend}{def:local-path-connected} wenn jede Umgebung
  eines Punktes \(x \in X\) eine wegzusammenhängende Umgebung von
  \(x\) enthält.
\end{definition}

\begin{theorem}
  Ist ein topologischer Raum \tsp{X}
  \begin{itemize}
  \item \hyperref[def:path-connected]{wegzusammenhängend}, so ist er
    auch \hyperref[def:connected]{zusammenhängend}
  \item \hyperref[def:local-path-connected]{lokal wegzusammenhängend},
    so ist er auch \hyperref[def:local-connected]{lokal
      zusammenhängend}
  \item \hyperref[def:path-connected]{wegzusammenhängend} und
    \(\typesto{f}{X \to Y}\) stetig, so ist auch
    \(\tspace{f(X)}{\topo{f(X) \subseteq Y}}\) wegzusammenhängend.
  \item \hyperref[def:local-path-connected]{lokal wegzusammenhängend},
    so ist er \hyperref[def:path-connected]{wegzusammenhängend} \gdw{}
    er \hyperref[def:connected]{zusammenhängend} ist.
  \end{itemize}
\end{theorem}

\begin{definition}
  Für einen topologischen Raum \(\tsp{X}\) existieren die \hyperref[def:equivalence]{Äquivalenzrelationen}
  \begin{align*}
    x \sim_{\mathrm{C}} y &\colonbiimplies\ \text{es gibt einen Teilraum}\
                            M \subseteq X\ \text{mit}\ x,y \in M\\
    x \sim_{\mathrm{W}} y &\colonbiimplies\ \text{es gibt einen Weg}\ \typesto{\gamma}{\unit \to X}\ \text{von}\ x\ \text{nach}\ y\\
  \end{align*}
  Die Äquivalenzklasse \(\ccomponent{x}\) von \(x \in X\) bezüglich
  \(\sim_{\mathrm{C}}\) heißt
  \mel{Zusammenhangskomponente}{def:connected-component}, die
  Äquivalenzklasse \(\pccomponent{x}\) heißt
  \mel{Wegkomponente}{def:path-component} von \(x\).
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:clopen-ccomponent}
  Ist eine Menge \(M\) \hyperref[def:clopen-set]{abgeschloffen} in einem
  topologischen Raum \(X\), so ist \(M\) eine Vereinigung von
  \hyperref[def:connected-component]{Zusammenhangskomponenten} in
  \(X\).
\end{lemma}

\begin{lemma}
  Sei \(\tsp{X}\)
  (\hyperref[def:path-connected]{weg})\hyperref[def:connected]{zusammenhängend}
  und \(\homeomorphic{Y}{X}\)
  \hyperref[def:homeomorphic]{homöomorph}. Dann ist auch \(Y\)
  (\hyperref[def:path-connected]{weg})\hyperref[def:connected]{zusammenhängend}.
\end{lemma}

\begin{example}
  \begin{description}
  \item[Besenraum]
    \[
      B = (\unit \times \{0\}) \cup \bigcup_{n \in \N \setminus
        0}\left\{\tuple{t}{\sfrac{t}{n}} \mid t \in \unit\right\} \subseteq \R^{2}
    \]
    ist
    \hyperref[def:connected]{zusammenhängend} und
    \hyperref[def:path-connected]{wegzusammenhängend}, aber nicht
    \hyperref[def:local-connected]{lokal zusammenhängend} oder
    \hyperref[def:local-path-connected]{lokal wegzusammenhängend}.
    \begin{figure}[ht]
      \centering
      \begin{tikzpicture}
        \draw[->] (0,0) -- (2,0);
        \draw[->] (0,0) -- (0,2);
        \draw[plot] (0,0) -- (2,0);
        \foreach \x in {1,2,...,30}
        \draw[plot] (0,0) -- (2, 2 / \x);
      \end{tikzpicture}
      \caption*{Besenraum}
    \end{figure}
  \item[Sinusraum]
    \[
      S = \left\{\tuple{x}{\sfrac{1}{x}} \mid x \in \R \setminus \{0\}\right\}
      \cup \{(0,0)\} \subseteq \R^{2}
    \]
    ist \hyperref[def:connected]{zusammenhängend} aber nicht
    \hyperref[def:path-connected]{wegzusammenhängend} oder
    \hyperref[def:local-connected]{lokal zusammenhängend} oder
    \hyperref[def:local-path-connected]{lokal wegzusammenhängend}.
    \begin{figure}[ht]
      \centering
      \begin{tikzpicture}
        \draw[->] (-2,0) -- (2,0);
        \draw[->] (0,-2) -- (0,2);
        \draw[plot, smooth, variable=\x, domain=-2:2, samples=300]
        plot (\x, {2 * sin((1 / \x) r )});
      \end{tikzpicture}
      \caption*{Sinusraum}
    \end{figure}
  \end{description}
\end{example}

\begin{figure}[ht]
  \begin{mdframed}
    \centering{}
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
      \begin{tikzpicture}[scale=.9]
        \draw [open, draw=Secondary!60, fill=Secondary] (0,0) circle [radius=1cm];
        \node [point, fill=Secondary, label=below left:$x$] at (0,0) {};
        \node [point, fill=Primary, label=below right:$y$] at (1.5,0) {};
      \end{tikzpicture}
      \caption*{\T{0}-Raum}\label{fig:t0}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
      \begin{tikzpicture}[scale=.9]
        \draw [open, draw=Secondary!60, fill=Secondary] (0,0) circle [radius=1cm];
        \draw [open, draw=Primary!60, fill=Primary] (1.5,0) circle [radius=1cm];
        \node [point, fill=Secondary, label=below left:$x$] at (0,0) {};
        \node [point, fill=Primary, label=below right:$y$] at (1.5,0) {};
      \end{tikzpicture}
      \caption*{\T{1}-Raum}\label{fig:t1}
    \end{minipage}

    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
      \begin{tikzpicture}[scale=.9]
        \draw [open, draw=Secondary!60, fill=Secondary] (0,0) circle [radius=1cm];
        \draw [open, draw=Primary!60, fill=Primary] (2.2,0) circle [radius=1cm];
        \node [point, fill=Secondary, label=below left:$x$] at (0,0) {};
        \node [point, fill=Primary, label=below right:$y$] at (2.2,0) {};
      \end{tikzpicture}
      \caption*{\T{2}-Raum}\label{fig:t2}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
      \begin{tikzpicture}[scale=.9]
        \draw [open, draw=Secondary!60, fill=Secondary] (0,0) circle [radius=1cm];
        \draw [open, draw=Primary!60, fill=Primary] (2.2,0) circle [radius=1cm];
        \node [point, fill=Secondary, label=below left:$x$] at (0,0) {};
        \node [label=below right:$A$] at (2.2, 0) {};
        \draw [fill=Primary, draw=Primary] (2.2,0) circle [radius=0.3cm];
      \end{tikzpicture}
      \caption*{\T{3}-Raum}\label{fig:t3}
    \end{minipage}

    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
      \begin{tikzpicture}
        \draw [open, draw=Secondary!60, fill=Secondary] (0,0) circle [radius=1cm];
        \draw [open, draw=Primary!60, fill=Primary] (2.2,0) circle [radius=1cm];
        \node [label=below left:$A_{1}$] at (0,0) {};
        \node [label=below right:$A_{2}$] at (2.2, 0) {};
        \draw [fill=Secondary, draw=Secondary] (0,0) circle [radius=0.3cm];
        \draw [fill=Primary, draw=Primary] (2.2,0) circle [radius=0.3cm];
      \end{tikzpicture}
      \caption*{\T{4}-Raum}\label{fig:t4}
    \end{minipage}

    \begin{minipage}[t]{1.0\textwidth}
      \vspace{1em}
      \begin{description}
      \item[regulärer Raum:]\label{def:regular} \T{1} und \T{3}
      \item[normaler Raum:]\label{def:normal} \T{2} und \T{4}
      \item[\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Felix_Hausdorff}{Hausdorff}raum:]\label{def:hausdorff} \T{2}
      \end{description}
    \end{minipage}
    \caption*{Trennungsbedingungen}\label{fig:separation}
  \end{mdframed}
\end{figure}

\begin{lemma}
  Für einen topologischen Raum \(\tsp{X}\) gilt:
  \begin{itemize}
  \item wenn \T{2} dann \T{1}
  \item wenn \T{1} dann \T{0}
  \item Ist \(X\) ein \T{1}-Raum so gilt
    \T{4} \(\implies\) \T{3} und
    \T{3} \(\implies\) \T{2}

  \item \hyperref[def:normal]{normal}
    \(\implies \mathrm{T}_{k}, k \in \{0,1,2,3,4\}\)
  \item \hyperref[def:regular]{regulär}
    \(\implies \mathrm{T}_{k}, k \in \{0,1,2,3\}\)
  \item \hyperref[def:normal]{normal} \(\implies\)
    \hyperref[def:regular]{regulär}

  \item Wenn \(X\) das
    \hyperref[def:second-countable]{2.\,Abzählbarkeitsaxiom} erfüllt
    gilt
    \hyperref[def:normal]{normal}~\(\biimplies\)~\hyperref[def:regular]{regulär}
  \item Wenn \(\tspace{M}{\topo{M \subseteq X}}\) ein \hyperref[def:subspace]{Teilraum} von \(X\)
    ist und \(X\) ein \T{k}-Raum für \(k \in \{0,1,2,3\}\) so ist
    auch \(M\) ein \T{k}-Raum.
  \item Wenn \(\tspace{M}{\topo{M \subseteq X}}\) ein \hyperref[def:subspace]{Teilraum} von \(X\)
    ist, \(M\) \hyperref[def:closed-set]{abgeschlossen} in \(X\) und
    \(X\) ein \T{4}-Raum so ist auch \(M\) ein \T{4}-Raum.
  \item Wenn \(\tsp{X}\) ein \T{4}-Raum ist und \(\typesto{f}{X \to Y}\)
    \hyperref[def:surjective]{surjektiv} und
    \hyperref[def:closed-map]{abgeschlossen}, so ist auch \(Y\) ein
    \T{4}-Raum.
  \end{itemize}
\end{lemma}

\begin{lemma}
  Ein Raum mit der \hyperref[ex:metric-topology]{metrischen Topologie}
  ist \hyperref[def:normal]{normal}.
\end{lemma}

\begin{lemma}[\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Pavel_Urysohn}{Urysohn}]
  Ein \hyperref[def:hausdorff]{Hausdorffraum} ist
  \hyperref[def:normal]{normal} \gdw{} zu zwei disjunkten
  abgeschlossenen Mengen \(A_{0},A_{1} \subseteq X\) eine stetige
  Abbildung \(\typesto{f}{X \to \unit}\) mit \(f(x) = 0\) für alle
  \(x \in A_{0}\) und \(f(x) = 1\) für alle \(x \in A_{1}\)
  existiert. Dann heißt \(f\)
  \mel{Urysohn-Funktion}{def:urysohn-map}.
\end{lemma}

\begin{theorem}[Fortsetzungssatz von \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Tietze}{Tietze}]\label{thm:tietze}
  Sei \(\tsp{X}\) ein \hyperref[def:normal]{normaler} topologischer Raum,
  \(A \subseteq X\) \hyperref[def:closed-set]{abgeschlossen} und
  \(\typesto{f}{A \to \R}\) stetig. Dann gibt es eine stetige
  Abbildung \(\typesto{F}{X \to \R}\) mit \(\restr{F}{A} = f\).
\end{theorem}
% TODO Beweis

\section{Konstruktion von topologischen Räumen}\label{sec:constructions}
\phantomsection{}
\subsection{Initial- und Finaltopologie}\label{sec:initial-final}
\begin{definition}[Initialtopologie]\label{def:initial}
  Sei \(X\) eine Menge, \(\family{i \in I}{(Y_{i}, \topo{Y_{i}})}\)
  eine Familie topologischer Räume mit Abbildungen
  \(\typesto{f_{i}}{X \to Y_{i}}\). Die \me{Initialtopologie} auf
  \(X\) ist die Topologie \(\topo{\mathrm{ini}}\) mit der
  charakteristischen Eigenschaft: Eine Abbildung
  \(\typesto{f}{W \to X}\) ist stetig \gdw{} \(f_{i} \circ f\) stetig
  für alle \(i \in I\).
  
  \begin{tikzcd}
    {\tspace{W}{\topo{W}}} \arrow[rr, "f"] \arrow[rrd, "f_i\circ{} f"'] &  & {\tspace{X}{\topo{\mathrm{ini}}}} \arrow[d, "f_i"] \\
    &  & {\tspace{Y_i}{\topo{Y_i}}}
  \end{tikzcd}
\end{definition}

\begin{definition}[Finaltopologie]\label{def:final}
  Sei \(X\) eine Menge, \(\family{i \in I}{(Y_{i}, \topo{Y_{i}})}\)
  eine Familie topologischer Räume mit Abbildungen
  \(g_{i} \colon Y_{i} \to X\). Die \me{Finaltopologie} auf \(X\) ist
  die Topologie \(\topo{\mathrm{fin}}\) mit der charakteristischen
  Eigenschaft: Eine Abbildung \(\typesto{g}{X \to W}\) ist stetig
  \gdw{} \(g \circ g_{i}\) stetig für alle \(i \in I\).
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      {(W,\topo{W})} &  & {\tspace{X}{\topo{\mathrm{fin}}}} \arrow[ll, "g"']\\
      &  & {\tspace{Y_i}{\topo{Y_i}}} \arrow[u, "g_i"'] \arrow[llu, "g \circ{} g_i"]
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:ini-final-props}\hspace{0pt}
  \begin{enumerate}
  \item Die von einer Familie \(\family{i \in I}{f_{i}}\) induzierte
    \hyperref[def:initial]{Initialtopologie} ist die
    \hyperref[def:fein-grob]{gröbste} Topologie auf \(X\) für die
    \(f_{i}\) stetig für alle \(i \in I\).
  \item Die von einer Familie \(\family{i \in I}{g_{i}}\) induzierte
    \hyperref[def:final]{Finaltopologie} ist die
    \hyperref[def:fein-grob]{feinste} Topologie auf \(X\) für die
    \(g_{i}\) stetig für alle \(i \in I\).
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\subsection{Teilraumtopologie}\label{sec:subspace}

\begin{definition}\label{def:subspace}
  Ist \(\tsp{X}\) ein topologischer Raum und \(M \subseteq X\)
  eine Teilmenge so ist die \me{Teilraumtopologie} auf \(M\) gegeben
  durch
  \[
    \topo{M \subseteq X} \coloneq \topo{X} \cap M = \{U \subseteq M
    \mid \ex{O \in \topo{X}}{U = O \cap M}\}
  \]
  die einzige Topologie auf \(M\) mit der universellen Eigenschaft:

  Für alle stetigen \(\typesto{f}{W \to X}\) mit \(f(W) \subseteq M\)
  gibt es genau eine stetige Abbildung \(\tilde{f}\) sodass
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      \tspace{W}{\topo{W}} \arrow[rrd, "f"'] \arrow[rr, "\exists!\,\tilde{f}", dotted] &  & \tspace{M}{\topo{M \subseteq X}} \arrow[d, "\iota"]\\
      & & \tsp{X}
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{definition}

\begin{remark}
  Die Teilraumtopologie auf einer Teilmenge \(W\) ist die von der
  Inklusion \(\typesto{\iota}{W \to X}\) induzierte
  \hyperref[def:initial]{Initialtopologie}.
\end{remark}

\begin{definition}\label{def:embedding}
  Eine Abbildung \(\typesto{f}{W \to X}\) heißt \me{Einbettung} von
  \(\tspace{W}{\topo{W}}\) in \(\tsp{X}\) wenn sie
  \hyperref[def:injective]{injektiv} ist und \(\topo{W}\) die von
  \(f\) induzierte \hyperref[def:initial]{Initialtopologie} ist.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:embedding-corestriction}
  Eine injektive Abbildung \(\typesto{f}{W \to X}\) ist eine
  Einbettung \gdw{} ihre \hyperref[def:corestriction]{Koeinschränkung}
  \(\typesto{\corestr{f}{\image{f}{W}}}{W \to \image{f}{W}}, w \mapsto
  f(w)\) ein \hyperref[def:homeomorphism]{Homöomorphismus} ist.
\end{lemma}

\subsection{Quotiententopologie}\label{sec:quotient}
\begin{definition}[Quotiententopologie]
  Sei \(\tsp{X}\) ein topologischer Raum,
  \(\mathord\sim \subseteq X \times X\) eine
  \hyperref[def:equivalence]{Äquivalenzrelation} auf \(X\) und
  \(\typesto{\pi}{X \to \quotient{X}{\sim}}\), \(x \mapsto \eqclass{x}\)
  die kanonische \hyperref[def:surjective]{Surjektion}.

  Die \me{Quotiententopologie} \(\topo{\sim}\) auf
  \(\quotient{X}{\sim}\) ist die von \(\pi\) induzierte
  \hyperref[def:final]{Finaltopologie} auf \(\quotient{X}{\sim}\) mit
  der universellen Eigenschaft:
  Für \(\typesto{g}{X \to Y}\) mit \(\restr{g}{\eqclass{x}}\) konstant existiert genau eine stetige Abbildung \(\tilde{g}\) sodass
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      Y &  & \quotient{X}{\sim} \arrow[ll, "{\exists!\, \tilde{g}}"'] \\
      &  & X \arrow[u, "\pi"'] \arrow[llu, "g"]
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{definition}

\begin{figure}[ht]
  \begin{mdframed}
    \centering
    \begin{minipage}[t][.5\textwidth]{.4\textwidth}
      \centering{}
      \begin{tikzpicture}
        \coordinate (E) at (2,2);
        \draw[help lines, step=.5cm] (0,0) grid (E);
        \begin{scope}[every path/.style={thick}]
          \draw let \p1 = (E) in (0, \y1) -- (\x1, \y1);
          \draw let \p1 = (E) in (0, 0) -- (\x1, 0);
        \end{scope}
        \begin{scope}[every path/.style={very thick}]
          \draw[draw=Primary, ->] let \p1 = (E) in (0, 0) to (0, {\y1 / 1.9});
          \draw[draw=Primary] let \p1 = (E) in (0, 0) to (0, \y1);
          \draw[draw=Primary, ->] let \p1 = (E) in (\x1, 0) to (\x1, {\y1 / 1.9});
          \draw[draw=Primary] let \p1 = (E) in (\x1, 0) to (\x1, \y1);
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption*{\centering{}Zylindermantel \((0,y) \sim (1,y)\)}\label{ex:cylinder}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t][.5\textwidth]{.4\textwidth}
      \centering{}
      \begin{tikzpicture}
        \coordinate (E) at (2,2);
        \draw[help lines, step=.5cm] (0,0) grid (E);
        \begin{scope}[every path/.style={thick}]
          \draw let \p1 = (E) in (0, \y1) -- (\x1, \y1);
          \draw let \p1 = (E) in (0, 0) -- (\x1, 0);
        \end{scope}
        \begin{scope}[every path/.style={very thick}]
          \draw[draw=Primary, ->] let \p1 = (E) in  (0, \y1) to (0, {\y1 / 2.1});
          \draw[draw=Primary] let \p1 = (E) in (0, {\y1 / 2}) to (0, 0);
          \draw[draw=Primary, ->] let \p1 = (E) in (\x1, 0) to (\x1, {\y1 / 1.9});
          \draw[draw=Primary] let \p1 = (E) in (\x1, 0) to (\x1, \y1);
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption*{\centering{}\href{https://en.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M\%C3\%B6bius}{Möbius}band
        \((0,y) \sim (1, 1 - y)\)}\label{ex:möbius}
    \end{minipage}

    \begin{minipage}[t][.5\textwidth]{.4\textwidth}
      \centering{}
      \begin{tikzpicture}
        \coordinate (E) at (2,2);
        \draw[help lines, step=.5cm] (0,0) grid (E);
        \begin{scope}[every path/.style={very thick}]
          \draw[draw=Secondary, ->] let \p1 = (E) in (0, 0) to (0, {\y1 / 1.9});
          \draw[draw=Secondary] let \p1 = (E) in (0, 0) to (0, \y1);
          \draw[draw=Secondary, ->] let \p1 = (E) in (\x1, 0) to (\x1, {\y1 / 1.9});
          \draw[draw=Secondary] let \p1 = (E) in (\x1, 0) to (\x1, \y1);
          \draw[draw=Primary, ->] let \p1 = (E) in (0, 0) to ({\x1 / 1.9}, 0);
          \draw[draw=Primary] let \p1 = (E) in ({\x1 / 1.9}, 0) to (\x1, 0);
          \draw[draw=Primary, ->] let \p1 = (E) in (0, \y1) to ({\x1 / 1.9}, \y1);
          \draw[draw=Primary] let \p1 = (E) in ({\x1 / 1.9}, \y1) to (\x1, \y1);
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption*{\centering{}Torus\break{} \((0,y) \sim (1, y)\) \((x,0) \sim (x,1)\)}\label{ex:torus}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t][.5\textwidth]{.4\textwidth}
      \centering{}
      \begin{tikzpicture}
        \coordinate (E) at (2,2);
        \draw[help lines, step=.5cm] (0,0) grid (E);
        \begin{scope}[every path/.style={very thick}]
          \draw[draw=Secondary, ->] let \p1 = (E) in  (0, \y1) to (0, {\y1 / 2.1});
          \draw[draw=Secondary] let \p1 = (E) in (0, {\y1 / 2}) to (0, 0);
          \draw[draw=Secondary, ->] let \p1 = (E) in (\x1, 0) to (\x1, {\y1 / 1.9});
          \draw[draw=Secondary] let \p1 = (E) in (\x1, 0) to (\x1, \y1);
          \draw[draw=Primary, ->] let \p1 = (E) in (0, 0) to ({\x1 / 1.9}, 0);
          \draw[draw=Primary] let \p1 = (E) in ({\x1 / 1.9}, 0) to (\x1, 0);
          \draw[draw=Primary, ->] let \p1 = (E) in (0, \y1) to ({\x1 / 1.9}, \y1);
          \draw[draw=Primary] let \p1 = (E) in ({\x1 / 1.9}, \y1) to (\x1, \y1);
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption*{\centering{}\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Klein}flasche \(\tuple{0}{y}~\sim~\tuple{1}{1 - y}\)
        \((x,0)~\sim~(x,1)\)}\label{ex:klein-bottle}
    \end{minipage}
    \caption*{Quotienten von \(\unit^{2}\)}\label{fig:quotients}
  \end{mdframed}
\end{figure}

\subsection{Produkt- und Summentopologie}\label{sec:product-sum}
\begin{definition}[Produkttopologie]\label{def:product}
  Sei \(\family{i \in I}{\tspace{X_{i}}{\topo{X_{i}}}}\) eine Familie von
  topologischen Räumen. Die \me{Produkttopologie} ist die auf
  \(\prod_{i \in I}X_{i}\) von den Projektionen
  \(\typesto{\pi_{i}}{\prod_{i \in I} X_{i} \to X_{i}}\) induzierte
  \hyperref[def:initial]{Initialtopologie} mit der universellen
  Eigenschaft: Für jede Familie \(\family{i \in I}{f_{i}}\) stetiger
  Abbildungen \(\typesto{f_{i}}{W \to X_{i}}\) existiert genau ein
  \(\typesto{f}{W \to \prod_{i \in I} X_{i}}\) sodass
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      W \arrow[rrd, "f_i"'] \arrow[rr, "{\exists!\, f}", dotted] &  & \prod_{i \in I} X_i \arrow[d, "\pi_i"] \\
      &  & X_i
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{definition}

\begin{definition}[Summentopologie]\label{def:sum}
  Sei \(\family{i \in I}{X_{i}}\) eine Familie von topologischen
  Räumen. Die \me{Summentopologie} ist die auf
  \(\coprod_{i \in I} X_{i}\) von den Inklusionen
  \(\typesto{\iota_{i}}{X_{i} \to \coprod_{i \in I} X_{i}}\)
  induzierte \hyperref[def:final]{Finaltopologie} mit der universellen
  Eigenschaft: Für jede Familie \(\family{i \in I}{f_{i}}\) stetiger
  Abbildungen \(\typesto{f_{i}}{X_{i} \to W}\) existiert genau ein
  \(\typesto{f}{\coprod_{i \in I}X_{i} \to W}\) sodass
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      W &  & \coprod_{i \in I} X_i \arrow[ll, "{\exists!\, f}"', dotted] \\
      &  & X_i \arrow[llu, "f_i"] \arrow[u, "\iota_i"', tail]
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{definition}

\begin{lemma}[Eigenschaften Produkt und Summe]\label{lem:prod-sum-props}
  Sei \(\family{i \in I}{X_{i}}\) eine Familie topologischer Räume. Dann gilt:
  \begin{itemize}
  \item Ist \(X_{i}\) ein \T{k}-Raum (für \(k \in \{0,1,2,3\}\)) für
    alle \(i \in I\) dann sind \(\prod_{i \in I}X_{i}\),
    \(\coprod_{i \in I}X_{i}\) auch \T{k}-Räume.
  \item Ist \(X_{i}\) (\hyperref[def:path-connected]{weg})\hyperref[def:connected]{zusammenhängend} für alle \(i \in I\) so
    ist auch \(\prod_{i \in I}X_{i}\) (weg)\,zusammenhängend.
  \item Gibt es \(i \neq j \in I\) mit
    \(X_{i}, X_{j} \neq \emptyset\), dann ist
    \(\coprod_{i \in I}X_{i}\) nicht \hyperref[def:connected]{zusammenhängend}.
  \end{itemize}
\end{lemma}

\subsection{(Ko)Faserprodukt}\label{sec:pullback-pushout}
\begin{definition}[Faserprodukt]
  Seien \tsp{X}, \tsp{Y} und \tsp{A} topologische Räume mit stetigen
  Abbildungen \(\typesto{p}{X \to A}\) und \(\typesto{q}{Y \to A}\).
  Der topologische Raum
  \[
    X \times_{A} Y \coloneq \{(x,y) \in X \times Y \mid p(x) = q(y)\} \subseteq X \times Y
  \]
  als Teilraum von \(X \times Y\) mit der
  \hyperref[def:product]{Produkttopologie} heißt
  \me{Faserprodukt} von \(X\) und \(Y\) entlang \(p\) und \(q\).
\end{definition}

\begin{remark}
  Das Faserprodukt zweier topologischer Räume \tsp{X}, \tsp{Y} entlang
  der stetigen Abbildungen \(\typesto{p}{X \to A}\),
  \(\typesto{q}{Y \to A}\) ist der Pullback von \(p\) und \(q\) in
  \hyperref[def:cat-top]{\Top}, d.h. es erfüllt die universelle Eigenschaft:

  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      C \arrow[rdd, "f_1", bend right] \arrow[rrd, "f_0", bend left] \arrow[rd, "\exists!f", dotted] & & \\
      & X\times_A Y \arrow[d, "\pi_1"'] \arrow[r, "\pi_0"] & X \arrow[d, "p"] \\
      & Y \arrow[r, "q"']                                  & A               
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{remark}

\begin{definition}[Kofaserprodukt]
  Seien \tsp{X}, \tsp{Y} und \tsp{A} topologische Räume und
  \(\typesto{j}{A \to X}\), \(\typesto{k}{A \to Y}\) stetige
  Abbildungen.
  Der topologische Raum
  \[
    X +_{A} Y \coloneq \quotient{X + Y}{\sim}\\
    (\iota_{X} \circ j)(a) \sim (\iota_{Y} \circ k)(a)
  \]
  als Quotient von \(X + Y\) mit der Summentopologie heißt
  \me{Kofaserprodukt} von \(X\) und \(Y\) entlang \(j\) und \(k\).
\end{definition}

\begin{remark}
  Das Kofaserprodukt zweier topologischer Räume \tsp{X}, \tsp{Y} entlang
  der stetigen Abbildungen \(\typesto{j}{A \to X}\),
  \(\typesto{k}{A \to Y}\) ist der Pushout von \(j\) und \(k\) in
  \hyperref[def:cat-top]{\Top}, d.h. es erfüllt die universelle Eigenschaft:
  
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      C &                                                      &                                                       \\
      & X+_A Y \arrow[lu, "\exists!~f", dotted]              & X \arrow[l, "\iota_X"] \arrow[llu, "f_0", bend right] \\
      & Y \arrow[u, "\iota_Y"] \arrow[luu, "f_1", bend left] & A \arrow[u, "j"'] \arrow[l, "k"]                     
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{remark}

\section{Kompaktheit}\label{sec:compactness}
\begin{definition}[Überdeckung]\label{def:cover}
  Eine \me{(offene) Überdeckung} eines topologischen Raums
  \(\tsp{X}\) ist eine Familie \(\family{i \in I}{O_{i}}\) von
  (offenen) Teilmengen \(O_{i} \in \power{X}\) mit
  \(X \subseteq \bigcup_{i \in I} O_{i}\). Für \(J \subseteq I\) heißt
  \(\family{j \in J}{O_{j}}\) \me{Teilüberdeckung} von
  \(\family{i \in I}{O_{i}}\) wenn \(\family{j \in J}{O_{j}}\) eine
  Überdeckung von \(X\) ist.
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:locally-finite-system}
  Eine Familie \(\family{i \in I}{A_{i}}\) von Teilmengen eines
  topologischer Raums \(X\) heißt \me{lokal-endlich}, wenn für alle
  \(x \in X\) ein \(U \in \nbh{x}\) existiert mit
  \(A_{i} \cap U = \emptyset\) nur für endlich viele \(A_{i}\).
\end{definition}

\begin{definition}[Partition der Eins]\label{def:partition-of-unity}
  Sei \(\tsp{X}\) ein topologischer Raum, \(\mathcal{U}\) eine
  \hyperref[def:cover]{offene Überdeckung} von \(X\) und
  \(\family{i \in I}{f_{i}}\) eine Familie stetiger Abbildungen
  \(\typesto{f_{i}}{X \to \unit}\).  Man nennt
  \(\family{i \in I}{f_{i}}\) eine \me{Partition der Eins} wenn für alle \(x \in X\):
  \begin{itemize}
  \item \(\sum_{i \in I} f_{i}(x) = 1\)
  \item eine \(U \in \nbh{x}\) existiert in der
    \(\image{f_{i}}{U} \neq \{0\}\) nur für endlich viele \(f_{i}\)
    gilt (\ie{} die \hyperref[def:carrier]{Träger} der \(f_{i}\)
    bilden ein \hyperref[def:locally-finite-system]{lokal-endliches
      System}).
  \end{itemize}
  Eine Partition der Eins \(\family{i \in I}{f_{i}}\) heißt
  \mel{untergeordnet}{def:sub-partition-of-unity} einer
  \hyperref[def:cover]{Überdeckung} \(\family{i \in I}{U_{i}}\) wenn
  der \hyperref[def:carrier]{Träger} von \(f_{i}\) in \(U_{i}\) liegt.
\end{definition}

\begin{theorem}\label{thm:ex-partition-of-unity}
  Ist \(\tsp{X}\) ein \hyperref[def:normal]{normaler} Raum und
  \(\family{i \in I}{U_{i}}\) eine
  \hyperref[def:locally-finite-system]{lokal-endliche} offene
  \hyperref[def:cover]{Überdeckung} von \(X\) so gibt es eine
  \(\family{i \in I}{U_{i}}\) untergeordnete
  \hyperref[def:partition-of-unity]{Partition der Eins}.
\end{theorem}

\begin{definition}\label{def:manifold}
  Eine \me{topologische Mannigfaltigkeit} der Dimension \(n \in \N\)
  ist ein \hyperref[def:hausdorff]{Hausdorffraum} \(\tsp{X}\), wobei
  für jeden Punkt \(x \in X\) eine offene
  \hyperref[def:neighbourhood]{Umgebung} \(U_{x} \in \nbh{x}\) mit
  \hyperref[def:homeomorphism]{Homöomorphismus}
  \(\typesto{\Phi_{x}}{U_{x} \to V_{x}}\) auf eine offene Teilmenge
  \(V_{x} \subseteq \R^{n}\) existiert.  \(\tuple{U_{x}}{\Phi_{x}}\) heißt dann
  \mel{Karte}{def:chart} auf \(X\).
\end{definition}

\begin{remark} Ist \(X\) eine \hyperref[def:manifold]{topologische
    Mannigfaltigkeit} und \(x \in X\) so kann \obda{} angenommen
  werden, dass \(\Phi_{x}(x) = 0\) und \(\disk{n} \subseteq V_{x}\)
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \pic{torus={1.2cm}{5.5mm}{60}};
      \begin{scope}[label distance=5mm]
        \draw[open, fill=Primary, draw=Primary!60] (0,-0.6) ellipse [x radius=7mm, y radius=4.5mm] node (U) [label=right:$U_{x}$] {};
        \coordinate [above right=3mm of U, xshift=3mm] (UP);
      \end{scope}
      \node[point, fill=Primary,  label=below left:$x$] at (U) {};
      \begin{scope}[label distance=8mm, xshift=4cm]
        \draw[->, very thin] (-1.5,0) to (1.5,0);
        \draw[->, very thin] (0,-1.5) to (0,1.5);
        \draw[open, fill=Primary, draw=Primary!60] (0,0) ellipse [x radius=12mm, y radius=10mm] node (V) [label=below right:$V_{x}$] {};
        \begin{scope}[label distance=2mm]
          \draw[text opacity=1, fill opacity=.1, fill=Black] (0,0) circle [radius=.5cm] node [label=above right:$\disk{n}$] {};
        \end{scope}
        \coordinate[above left=10mm of V] (VP);
        \node [point, fill=Primary] at (0,0) {};
      \end{scope}
      \draw[->, thick] (UP) to [bend left] node[near end, above] {$\Phi_{x}$} (VP);
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
\end{remark}

\begin{definition}[Kompaktheit]\label{def:compact}
  Ein topologischer Raum \(\tsp{X}\) ist \me{kompakt}, wenn für
  jede \hyperref[def:cover]{offene Überdeckung}
  \(\family{i \in I}{O_{i}}\) von \(X\) eine endliche Teilüberdeckung,
  also eine Teilüberdeckung \(J \subseteq I\) mit \(J\) endlich,
  existiert.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei \(\tsp{X}\) kompakt und \(\homeomorphic{Y}{X}\)
  \hyperref[def:homeomorphic]{homöomorph}. Dann ist auch \(Y\)
  kompakt.
\end{lemma}

\begin{theorem}[\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Eduard_Heine}{Heine}-\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Emile_Borel}{Borel}]\label{thm:heine-borel}
  Eine Teilmenge des \(\R^{n}\) ist \hyperref[def:compact]{kompakt}
  \gdw{} sie \hyperref[def:closed-set]{abgeschlossen} und
  \hyperref[def:bounded-set]{beschränkt} ist.
\end{theorem}
\begin{corollary}
  Jede \hyperref[def:compact]{kompakte} Teilmenge eines metrische
  Raums ist \hyperref[def:bounded-set]{beschränkt}.
\end{corollary}

\begin{lemma}\label{lem:compact-union-intersection} Für einen topologischen Raum \(\tsp{X}\) gilt:
  \begin{itemize}
  \item Endliche Vereinigungen von kompakten Teilmengen sind kompakt.
  \item Ist \(X\) \hyperref[def:hausdorff]{hausdorffsch}, so sind
    beliebige Schnitte kompakter Teilmengen kompakt.
  \end{itemize}
\end{lemma}

\begin{lemma}
  Ein topologischer Raum \(\tsp{X}\) ist \hyperref[def:compact]{kompakt}
  \gdw{} für jeden topologischen Raum \(Y\) die Projektion
  \(\typesto{\pi_{Y}}{X \times Y \to Y}, (x,y) \mapsto y\)
  \hyperref[def:closed-map]{abgeschlossen} ist.
\end{lemma}

\begin{definition}\label{def:finite-intersection}
  Sei \(X\) eine Menge, \(\family{i \in I}{A_{i}}\) eine Familie von
  Teilmengen \(A_{i} \subseteq X\). \(\family{i \in I}{A_{i}}\)
  besitzt die \me{endliche Durchschnittseigenschaft}, wenn
  \(\bigcap_{j \in J}A_{j} \neq \emptyset\) für alle endlichen
  \(J \subseteq I\).
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:hausdorff-compact}
  Sei \tsp{X} ein topologischer Raum, \(M \subseteq X\). Es gilt:
  \begin{itemize}
  \item ist \(X\) hausdorffsch und
    \(M\) kompakt, dann ist \(M\) abgeschlossen.
  \item ist \(X\) \hyperref[def:compact]{kompakt} und \(M\)
    abgeschlossen, dann ist \(M\) kompakt.
  \end{itemize}
\end{lemma}

\begin{lemma}\label{lem:image-compact}
  Ist \(X\) kompakt und \(\typesto{f}{X \to Y}\) stetig, dann ist
  \(\image{f}{X} \subseteq Y\) kompakt.
\end{lemma}

\begin{lemma}\label{lem:compact-ultrafilter}
  Sei \tsp{X} ein topologischer Raum. Dann ist äquivalent:
  \begin{enumerate}
  \item \(X\) ist \hyperref[def:compact]{kompakt}.
  \item für jede Familie \(\family{i \in I}{A_{i}}\) mit
    \(A_{i} \subseteq X\) abgeschlossen und
    \(\bigcap_{i \in I}A_{i} = \emptyset\) existiert eine endliche
    Teilmenge \(F \subseteq I\) mit
    \(\bigcap_{i \in F} A_{i} = \emptyset\).
  \item Jeder \hyperref[def:ultrafilter]{Ultrafilter} auf \(X\)
    \hyperref[def:filter-conv]{konvergiert}.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{theorem}[\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Tikhonov_(mathematician)}{Tychonow}]\label{thm:tychonow}
  Sei \(\family{i \in I}{X_{i}}\) eine Familie nicht leerer
  topologischer Räume. Dann ist \(\prod_{i \in I}X_{i}\) kompakt
  \gdw{} \(X_{i}\) kompakt für alle \(i \in I\).
\end{theorem}

\begin{definition}[Folgenkompaktheit]\label{def:sequence-compact}
  Ein topologischer Raum \tsp{X} heißt \me{folgenkompakt}, wenn jede
  Folge \(\sequence{i}{x_{i}}\) eine konvergente Teilfolge besitzt.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Ein metrischer Raum ist
  \hyperref[def:sequence-compact]{folgenkompakt} \gdw{} er
  \hyperref[def:compact]{kompakt} ist.
\end{lemma}

\begin{example}\hspace{0pt}
  \begin{itemize}
  \item Der Raum \(\{0,1\}^{\unit}\) mit der
    \hyperref[def:product]{Produkttopologie} (und der
    \hyperref[def:discrete-topology]{diskreten Topologie} auf
    \(\{0,1\}\)) ist \hyperref[def:compact]{kompakt}, aber
    \emph{nicht} \hyperref[def:sequence-compact]{folgenkompakt}.
  \item Der Raum \([0,\omega_{1})\) der abzählbaren Ordinalzahlen mit
    der \hyperref[def:order-topology]{Ordnungstopologie} ist
    \hyperref[def:sequence-compact]{folgenkompakt}, aber nicht
    \hyperref[def:compact]{kompakt}.
  \end{itemize}
\end{example}

\phantomsection{}
\subsection{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Marshall_H._Stone}{Stone}-\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Eduard_\%C4\%8Cech}{Čech}-Kompaktifizierung}\label{sec:stone-cech}
\begin{definition}\label{def:local-compact}
  Ein topologischer Raum \(\tsp{X}\) heißt \me{lokalkompakt} wenn jede
  Umgebung eines Punkts \(x \in X\) eine
  \hyperref[def:compact]{kompakte}
  \hyperref[def:neighbourhood]{Umgebung} von \(x\) enthält.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:hausdorff-local-compact}
  Ein \hyperref[def:hausdorff]{Hausdorffraum} ist
  \hyperref[def:local-compact]{lokalkompakt} \gdw{} jeder Punkt
  \(x \in X\) eine \hyperref[def:compact]{kompakte} Umgebung besitzt.
\end{lemma}
\begin{lemma}\label{lem:clopen-subspace-local-compact}
  Jede \hyperref[def:clopen-set]{abgeschloffene} Teilmenge eines
  lokalkompakten topologischen Raums ist lokalkompakt mit der
  Teilraumtopologie.
\end{lemma}

\begin{definition}[Kompaktifizierung]\label{def:compactification}
  Seien \tsp{X}, \tsp{Y} topologische Räume und \(Y\)
  \hyperref[def:compact]{kompakt}.  Falls \(\typesto{\iota}{X \to Y}\)
  eine \hyperref[def:embedding]{Einbettung} ist und \(\iota(X)\)
  \hyperref[def:dense]{dicht} in \(Y\), dann heißt
  \(\tuple{Y}{\iota}\) \me{Kompaktifizierung} von \(X\).  Wenn \(Y\)
  \hyperref[def:hausdorff]{hausdorffsch} ist, heißt
  \(\tuple{Y}{\iota}\)
  \mel{Hausdorffkompaktifizierung}{def:hausdorff-compactification}
  von \(X\).

  Zwei Kompaktifizierungen \(\tuple{Y_{0}}{\iota_{0}}\), \(\tuple{Y_{1}}{\iota_{1}}\) heißen \mel{äquivalent}{def:compactification-eqv}, wenn es einen \hyperref[def:homeomorphism]{Homöomorphismus} \(\typesto{f}{Y_{0} \to Y_{1}}\) gibt mit
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      & X \arrow[ld, "\iota_0"] \arrow[rd, "\iota_1"] &     \\
      Y_0 \arrow[rr, "f"'] &                                               & Y_1
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{definition}

\begin{definition}[Tychonowraum]\label{def:tychonov-space}
  Ein topologischer Raum \tsp{X} heißt \me{Tychonowraum} (vollständig regulär), wenn
  \begin{itemize}
  \item \(X\) ist \hyperref[def:hausdorff]{hausdorffsch}
  \item Für jedes abgeschlossene \(A \subseteq X\) und
    \(x \in X \setminus A\) existiert ein stetiges
    \(\typesto{f}{X \to \unit}\) mit \(f(x) = 1\) und \(\restr{f}{A}\)
    konstant 0.
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei \tsp{X} ein topologischer Raum mit
  \hyperref[def:hausdorff-compactification]{Hausdorffkompaktifizierung}
  \(\tuple{Y}{\iota}\). Dann ist \(X\) ein
  \hyperref[def:tychonov-space]{Tychonowraum}.
\end{lemma}

\begin{definition}[Einpunktkompaktifizierung]
  Sei \(\tsp{X}\) ein
  \hyperref[def:local-compact]{lokalkompakter} Hausdorffraum. Die
  \me{Einpunktkompaktifizierung}
  (\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Pavel_Alexandrov}{Alexandrov}-Kompaktifizierung)
  ist die Menge \(X^{*} \coloneq X \uplus \{\infty\}\) mit der Topologie
  \[
    \topo{X}^{*} \coloneq \topo{X} \cup \{O \subseteq X^{*} \mid X^{*} \setminus O\ \text{kompakt}\}
  \]
\end{definition}

\begin{definition}[Stone-Čech-Kompaktifizierung]\label{def:stone-cech-compactification}
  Sei \tsp{X} ein topologischer Raum mit
  \hyperref[def:hausdorff-compactification]{Hausdorffkompaktifizierung}
  \(\tuple{\beta{}X}{\beta}\).  \(\beta{}X\) heißt \me{Stone-Čech-Kompaktifizierung} von \(X\), wenn
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      X \arrow[rd, "f"'] \arrow[r, "\beta"] & \beta{}X \arrow[d, "{\exists!\, h}", dotted] \\
      & Y                                           
    \end{tikzcd}
  \end{center}
  kommutiert für alle topologischen Räume \(Y\) und
  \(\typesto{f}{X \to Y}\) stetig.
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei \tsp{X} ein \hyperref[def:tychonov-space]{Tychonowraum}. Dann
  existiert eine
  \hyperref[def:stone-cech-compactification]{Stone-Čech-Kompaktifizierung}
  \(\tuple{\beta{}X}{\beta}\) von \(X\).
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Stone-Čech-Kompaktifizierungen eines
  \hyperref[def:tychonov-space]{Tychonowraums} \tsp{X} sind eindeutig
  bis auf \hyperref[def:compactification-eqv]{Äquivalenz von
    Kompaktifizierungen}.
\end{theorem}

\begin{definition}[Wallman-Kompaktifizierung]
  Sei \(X\) ein \hyperref[def:hausdorff]{Hausdorffraum}, und
  \(\gamma~X\) die Menge der abgeschlossenen
  \hyperref[def:ultrafilter]{Ultrafilter} auf \(X\). Für ein abgeschlossenes
  \(A \subseteq X\) sei
  \(\mathrm{cl}(A) \coloneq \{\mathcal{F} \in \gamma~X \mid A \in
  \mathcal{F}\}\). Sei
  \(\mathcal{A} \coloneq \{\mathrm{cl}(A) \mid A \subseteq X, A\ \text{abgeschlossen}\}\). Dann gilt:
  \begin{itemize}
  \item \(\mathcal{A}\) ist die \hyperref[def:base]{Basis} einer
    Topologie auf \(\gamma X\) (über abgeschlossenen Mengen).
  \item die Abbildung \(\typesto{\gamma}{X \to \gamma~X}\) ist eine
    \hyperref[def:embedding]{Einbettung} von \(X\) in \(\gamma~X\) und
    schickt \(x \in X\) auf den eindeutigen gegen \(x\)
    \hyperref[def:filter-conv]{konvergierenden} Ultrafilter.
  \item ist \(A \subseteq X\) abgeschlossen dann ist
    \(\mathrm{cl}(A) = \closure{\gamma(A)}\). Demnach liegt
    \(\gamma(X)\) \hyperref[def:dense]{dicht} in \(\gamma~X\).
  \item \(\gamma~X\) ist \hyperref[def:compact]{kompakt}
  \end{itemize}
\end{definition}

\section{Folgen, Filter, Netze}\label{sec:folgen-filter-netze}
\begin{definition}[Folgenkonvergenz]\label{def:sequence-conv}
  Eine Folge \(\sequence{n}{x_{n}}\) in einem topologischer Raum \(X\)
  \me{konvergiert} gegen \(x \in X\) wenn zu jeder
  \hyperref[def:neighbourhood]{Umgebung} \(U \in \nbh{x}\) ein
  \(N \in \N\) existiert mit \(x_{n} \in U\) für alle \(n \geq
  N\). Dann ist \(x\) der \mel{Grenzwert}{def:sequence-limit} von
  \(\sequence{n}{x_{n}}\).  Ein \(x \in X\) heißt
  \mel{Häufungspunkt}{def:acc-point} von \(\sequence{n}{x_{n}}\) wenn
  zu jeder Umgebung \(U \in \nbh{x}\) unendlich viele \(n \in \N\) mit
  \(x_{n} \in U\) existieren.
\end{definition}

\begin{definition}[Folgenstetigkeit]\label{def:sequence-contininuous}
  Eine Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt \me{folgenstetig in
    einem Punkt} \(x \in X\) wenn für alle gegen \(x\) konvergenten
  Folgen \(\sequence{n}{x_{n}}\) die Bildfolge
  \(\sequence{n}{f(x_{n})}\) gegen \(f(x)\) konvergiert. \(f\) heißt
  \me{folgenstetig} wenn sie folgenstetig in allen \(x \in X\) ist.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:seq-cont-cont}
  Seien \tsp{X}, \tsp{Y} topologische Räume. Dann sind stetige
  Abbildungen \(\typesto{f}{X \to Y}\)
  \hyperref[def:sequence-contininuous]{folgenstetig}.  Wenn \(X\) das
  \hyperref[def:first-countable]{1.\, Abzählbarkeitsaxiom} erfüllt
  gilt auch die Rückrichtung.
\end{lemma}

\begin{definition}\label{def:directed-set}
  Eine Menge \(I\) heißt \me{gerichtet} wenn eine reflexiv und
  transitive Relation \(\leq \subseteq I \times I\) existiert mit
  \[
    \all{x, y \in I}{\ex{z \in I}{x \leq z \land y \leq z}}
  \]
\end{definition}

\begin{definition}[Netz]\label{def:net}
  Ein \me{Netz} in einer Menge \(X\) ist eine Abbildung
  \(\typesto{\Phi}{I \to X}\), wobei \(I\) eine
  \hyperref[def:directed-set]{gerichtete Menge} ist. Wir schreiben
  \(\family{i \in I}{x_{i}}\) statt \(\image{\Phi}{I}\).
\end{definition}

\begin{definition}\label{def:net-conv}
  Ein Netz \(\family{i \in I}{x_{i}}\) in einem topologischen Raum
  \(X\) heißt \me{konvergent gegen} \(x \in X\), wenn zu jeder
  Umgebung \(U \in \nbh{x}\) ein \(i_{0} \in I\) existiert mit
  \(x_{i} \in U\) für alle \(i \geq i_{0}\).
\end{definition}

\begin{theorem}
  Seien \(X\) und \(Y\) topologische Räume.
  \begin{enumerate}
  \item\label{thm:net-closure} Für \(A \subseteq X\) gilt
    \(x \in \closure{A}\) \gdw{} ein \hyperref[def:net]{Netz}
    \(\family{i \in I}{x_{i}}, x_{i} \in A\) existiert das gegen \(x\)
    \hyperref[def:net-conv]{konvergiert}.
  \item\label{thm:net-continuous} Eine Funktion \(\typesto{f}{X \to Y}\)
    ist stetig \gdw{} für jedes Netz \(\family{i \in I}{x_{i}}\) das
    gegen \(x \in X\) konvergiert gilt, dass
    \(\family{i \in I}{f(x_{i})}\) gegen \(f(x)\) konvergiert.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{definition}[Filter]\label{def:filter}
  Ein \me{Filter} \(\mathcal{F}\) auf einer Menge \(X\) ist eine
  Teilmenge von \(\power{X}\) sodass:
  \begin{enumerate}
  \item \(\emptyset \not\in \mathcal{F}, X \in \mathcal{F}\)
  \item wenn \(F, G \in \mathcal{F}\) dann \(F \cap G \in \mathcal{F}\)
  \item wenn \(F \in \mathcal{F}\) und \(F \subseteq G\), dann \(G \in \mathcal{F}\)
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Filterbasis]\label{def:filter-base}
  Eine Teilmenge \(\mathcal{F}_{0}\) eines Filters \(\mathcal{F}\)
  heißt \me{Filterbasis} wenn jedes Element aus \(\mathcal{F}\) ein
  Element aus \(\mathcal{F}_{0}\) enthält.

  Ein Filter \(\mathcal{F}\) heißt \mel{frei}{def:filter-free} wenn
  \(\bigcap_{F \in \mathcal{F}} F = \emptyset\). Ein nicht freier
  Filter heißt \mel{fixiert}{def:filter-fixed}
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:filter-base}
  Sei \(X\) eine Menge und \(\mathcal{B} \subseteq \power{X}\).
  \(\mathcal{B}\) ist eine Filterbasis eines Filters auf \(X\) wenn
  für \(A, B \in \mathcal{B}\) ein \(C \in \mathcal{B}\) mit
  \(C \subseteq A \cap B\) existiert.
\end{lemma}

\begin{definition}[Ultrafilter]\label{def:ultrafilter}
  Seien \(\mathcal{F}_{0}, \mathcal{F}_{1}\) Filter auf \(X\). Dann
  heißt \(\mathcal{F}_{0}\) \mel{feiner}{def:filter-fine} als
  \(\mathcal{F}_{1}\) und \(\mathcal{F}_{1}\)
  \mel{gröber}{def:filter-coarse} als \(\mathcal{F}_{0}\) wenn
  \(\mathcal{F}_{0} \supseteq \mathcal{F}_{1}\).

  Ein Filter \(\mathcal{F}\) auf \(X\) heißt \me{Ultrafilter} wenn
  es keinen echt feineren Filter auf \(X\) gibt.
\end{definition}

\begin{theorem}[\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Alfred_Tarski}{Tarski}'s Ultrafiltersatz]\hspace{0pt}
  \begin{enumerate}
  \item Jeder \hyperref[def:filter]{Filter} \(\mathcal{F}\) ist in
    einem \hyperref[def:ultrafilter]{Ultrafilter} enthalten.
  \item \(\mathcal{F}\) ist ein Ultrafilter auf \(X\) \gdw{} für jedes
    \(A \subseteq X\) entweder \(A \in \mathcal{F}\) oder
    \(X \setminus A \in \mathcal{F}\) gilt.
  \item Ein Filter \(\mathcal{F}\) auf \(X\) ist ein
    \hyperref[def:filter-fixed]{fixierter}
    \hyperref[def:ultrafilter]{Ultrafilter} \gdw{} für ein \(x \in X\)
    existiert mit \(\mathcal{F} = \{F \subseteq X \mid x \in F\}\).
  \end{enumerate}
\end{theorem}

% TODO proof

\begin{definition}
  Ein Filter \(\mathcal{F}\) auf einem topologischen Raum \(X\)
  \mel{konvergiert}{def:filter-conv} gegen \(x \in X\), wenn
  \(\mathcal{F} \supseteq \nbh{x}\).
  \begin{notation}
    \(\conv{\mathcal{F}}{x} \colonbiimplies
    \mathcal{F}\ \text{konvergiert gegen}\ x\)
  \end{notation}

  Ein \(x \in X\) heißt \mel{Berührungspunkt}{def:filter-contact} von
  einem Filter \(\mathcal{F}\) wenn \(F \cap U \neq \emptyset\) für
  alle \(U \in \nbh{x}, F \in \mathcal{F}\).
\end{definition}

\begin{definition}[Bildfilter]\label{def:image-filter}
  Für einen Filter \(\mathcal{F}\) auf \(X\) und eine Abbildung
  \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt der von der
  \hyperref[def:filter-base]{Filterbasis}
  \(\{f(F) \mid F \in \mathcal{F}\}\) erzeugte Filter
  \(\image{f}{\mathcal{F}}\) oder \me{Bildfilter} von \(\mathcal{F}\)
  unter \(f\).
\end{definition}

\begin{theorem}
  Seien \(X, Y\) topologische Räume, \(A \subseteq X\). Dann gilt:
  \begin{enumerate}
  \item
    \(x \in \closure{A} \biimplies \ex{\text{Filter}\ \mathcal{F}\ \text{auf}\ X}{A \in \mathcal{F} \land \conv{\mathcal{F}}{x}}\)
  \item Eine Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) ist stetig in
    \(x \in X\) \gdw{} für jeden gegen \(x\)
    \hyperref[def:filter-conv]{konvergierenden} Filter auf \(X\) der
    \hyperref[def:image-filter]{Bildfilter} unter \(f\) gegen \(f(x)\)
    konvergiert.
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\section{Homotopietheorie}\label{sec:homotopy-theory}
\begin{definition}\label{def:homotopy-rel}
  Seine \(\tsp{X}\), \(\tspace{Y}{\topo{Y}}\) topologische Räume,
  \(M \subseteq X\) eine Teilmenge und \(\typesto{f,g}{X \to Y}\)
  stetige Abbildungen.  Eine \me{Homotopie von \(f\) nach \(g\)
    relativ zu \(M\)} (\(f \sim_{M} g\)) ist eine stetige Abbildung
  \(\typesto{h}{\unit \to X \to Y}\) mit
  \begin{itemize}
  \item \(h(0) = f\), \(h(1) = g\)
  \item \(h(t)(m) = f(m) = g(m)\) für alle \(m \in M, t \in \unit\).
  \end{itemize}
  Wenn \(f\), \(g\) homotop relativ \(\emptyset\), dann heißen \(f\)
  und \(g\) \mel{homotop}{def:homotopy} (\(f \sim g\)).
\end{definition}

\begin{theorem}
  Seien \(\tsp{X}\) und \(\tsp{Y}\) topologische Räume und
  \(M \subseteq X\). Dann ist \(\sim_{M}\) eine
  \hyperref[def:equivalence]{Äquivalenzrelation} auf \(\FS{X}{Y}\) der
  Menge der stetigen Funktionen von \(X\) nach \(Y\). Die
  Äquivalenzklassen heißen Homotopieklassen.
\end{theorem}

\begin{remark}[Homotopiekategorie]
  Topologische Räume und Homotopieklassen stetiger Abbildungen bilden
  die \hyperref[def:quotient-category]{Quotientenkategorie} \(\hTop\),
  punktierte topologische Räume und Homotopieklassen stetiger
  Abbildungen \(\typesto{f}{\tuple{x}{X} \to \tuple{y}{Y}}\) mit
  \(f(x) = y\) bilden die Kategorie \(\hpTop\).
\end{remark}

\begin{definition}\label{def:homotopy-equivalence}
  Seien \tsp{X} und \tsp{Y} topologische Räume.
  \begin{itemize}
  \item Eine \hyperref[def:continuous]{stetige} Abbildung
    \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt \me{Homotopieäquivalenz} wenn eine
    stetige Abbildung \(\typesto{g}{Y \to X}\) existiert mit
    \(g \circ f \sim \id_{X}\) und \(f \circ g \sim \id_{Y}\).
  \item Wenn eine Homotopieäquivalenz \(\typesto{f}{X \to Y}\)
    existiert dann sind
    \mel{homotopieäquivalent}{def:homotopy-equivalent}
    (\(X \simeq Y\))
  \item Ein topologischer Raum heißt
    \mel{kontrahierbar}{def:contractable} wenn er homotopieäquivalent
    zum \hyperref[def:one-point-space]{Einpunktraum} ist.
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{remark}
  Homotopieäquivalenzen sind Isomorphismen in \(\hTop\).
\end{remark}

\begin{remark}
  Zwei \hyperref[def:path]{Wege} \(\gamma\), \(\zeta\) heißen homotop,
  wenn sie \hyperref[def:homotopy-rel]{homotop relativ} zu \(\{0,1\}\)
  sind.
\end{remark}

\begin{example}
  Homotopieäquivalenz ist eine schwächere Bedingung als \hyperref[def:homeomorphic]{Homöomorphie}:

  Die \(n\)-Sphäre\(\sphere{n}\) ist homotopieäquivalent zu
  \(R^{n+1} \setminus \{0\}\), aber nicht homöomorph, da \(S^{n}\)
  kompakt ist, \(R^{n+1}\) aber nicht.
  \item Der Zylinder \(\sphere{1} \times \R\) ist homotopieäquivalent zum Kreis \(\sphere{1}\).
\end{example}

\begin{definition}
  Sei \tsp{X} ein topologischer Raum und \(M \subseteq X\) mit
  Inklusion \(\typesto{\iota}{M \to X}\). Dann heißt \(M\)
  \begin{itemize}
  \item \mel{Retrakt}{def:retract} von \(X\) wenn ein stetiges
    \(\typesto{r}{X \to M}\) existiert mit
    \(r \circ \iota = \id_{M}\).
  \item \mel{schwacher
      Deformationsretrakt}{def:weak-deformation-retract} wenn ein
    Retrakt \(\typesto{r}{X \to M}\) existiert mit
    \(\iota \circ r \sim \id_{X}\)
  \item \mel{starker
      Deformationsretrakt}{def:strong-deformation-retract} wenn ein
    Retrakt \(\typesto{r}{X \to M}\) existiert mit
    \(\iota \circ r \sim_{M} \id_{X}\)
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{theorem}
  Sei \tsp{X} ein topologischer Raum.
  \begin{itemize}
  \item Die Punkte \(x \in X\) und Homotopieklassen von Wegen
    \(\typesto{\gamma}{\unit \to X}\) bilden mit der Verkettung von
    Wegen ein \hyperref[def:groupoid]{Gruppoid} \(\Pi_{1}(X)\), das
    \mel{Fundamentalgruppoid}{def:fundamental-groupoid} von \(X\).
  \item Für jeden Punkt \(x \in X\) bilden die Wege von \(x\) nach
    \(x\) mit der Verkettung von Wegen eine Gruppe, die
    \mel{Fundamentalgruppe}{def:fundamental-group}
    \(\pi_{1}(x,X) = \Hom{\Pi_{1}(X)}{x}{x}\) im Punkt \(x\).
  \end{itemize}
\end{theorem}

\begin{remark}
  Sei \tsp{X} ein nicht leerer topologischer Raum und \(x \in X\). Das
  Tupel \(\tuple{x}{X}\) heißt dann ein \mel{punktierter topologischer
    Raum}{def:pointed-top-space}.

  Eine stetige Abbildung \(\typesto{f}{X \to Y}\) heißt
  \mel{punktierte Abbildung}{def:pointed-map} von \(\tuple{x}{X}\)
  nach \(\tuple{y}{Y}\) wenn \(f(x) = y\).

  Punktierte topologische Räume und punktierte Abbildungen bilden die
  Kategorie \(\mathsf{Top}_{\bullet}\).
\end{remark}

\begin{theorem}
  Die Zuordnung eines topologischen Raums \(X\)
  zu seinem Fundamentalgruppoid \(\Pi_{1}(X)\) bildet einen
  \hyperref[def:functor]{Funktor}
  \(\typesto{\Pi_{1}}{\Top \to \Grpd}\).
\end{theorem}

\begin{theorem}
  Die Zuordnung eines punktierten topologischen Raums \(\tuple{x}{X}\)
  zu seiner Fundamentalgruppe \(\pi_{1}(x, X)\) in \(x\) bildet einen
  \hyperref[def:functor]{Funktor}
  \(\typesto{\pi_{1}}{\pTop \to \Grp}\).
\end{theorem}


\begin{theorem}[\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Herbert_Seifert}{Seifert} und \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Egbert_van_Kampen}{van Kampen}]
  Sei \tsp{X} ein topologischer Raum mit
  \(U_{0}, U_{1} \in \topo{X}\) und \(U_{0} \cup U_{1} = X\). Weiterhin seien \(\typesto{i_{n}}{U_{n} \to X}\) und \(\typesto{j_{n}}{U_{0} \cap U_{1} \to U_{n}}\) die Inklusionsabbildungen. Dann ist \(\Pi_{1}(X)\) der \hyperref[def:pushout]{Pushout} von \(\Pi_{1}(j_{0})\) und \(\Pi_{1}(j_{1})\) in \Grpd :

  
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      \mathcal{T} &                                                           &                                                                      \\
      & \Pi_1(X) \arrow[lu, dotted]                               & \Pi_1(U_0) \arrow[l, "\Pi_1(i_0)"'] \arrow[llu, bend right]          \\
      & \Pi_1(U_1) \arrow[u, "\Pi_1(i_1)"] \arrow[luu, bend left] & \Pi_1(U_0 \cap U_1) \arrow[l, "\Pi_1(j_1)"] \arrow[u, "\Pi_1(j_0)"']
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{theorem}

\begin{corollary}[Seifert und van Kampen (für Fundamentalgruppen)]
  Sei \tsp{X} ein topologischer Raum mit \(U_{0}, U_{1} \in \topo{X}\)
  und \(U_{0} \cup U_{1} = X\). Weiterhin seien
  \(\typesto{i_{n}}{U_{n} \to X}\) und
  \(\typesto{j_{n}}{U_{0} \cap U_{1} \to U_{n}}\) die
  Inklusionsabbildungen. Wenn \(U_{0}, U_{1}, U_{0} \cap U_{1}\)
  \hyperref[def:path-connected]{wegzusammenhängend} sind, so ist
  \(\pi_{1}(x, X)\) der Pushout von
  \(\typesto{\pi_{1}(j_{n})}{\pi_{1}(x, U_{0} \cap U_{1}) \to
    \pi_{1}(x, U_{n})}\) für alle \(x \in U_{0} \cap U_{1}\) in \Grp:
  \begin{center}
    \begin{tikzcd}
      \mathcal{T} &                                                           &                                                                      \\
      & \pi_1(x,X) \arrow[lu, dotted]                               & \pi_1(x,U_0) \arrow[l, "\pi_1(i_0)"'] \arrow[llu, bend right]          \\
      & \pi_1(x,U_1) \arrow[u, "\pi_1(i_1)"] \arrow[luu, bend left] & \pi_1(x, U_0 \cap U_1) \arrow[l, "\pi_1(j_1)"] \arrow[u, "\pi_1(j_0)"']
    \end{tikzcd}
  \end{center}
\end{corollary}

\subsection{Überlagerungen}\label{sec:coverings}

\begin{definition}\label{def:covering}
  Seien \(X\), \(Y\) topologische Räume. Eine stetige Abbildung
  \(\typesto{q}{X \to Y}\) heißt \me{Überlagerung} wenn für alle
  \(y \in Y\) ein \(U \in \nbh{y}\) existiert sodass
  \(\emptyset \neq \preimage{q}{U} = \biguplus_{i \in I} V_{i} \) mit
  \(V_{i} \subseteq X\) offen und \(\restr{q}{V_{i}}\) ist ein
  \hyperref[def:homeomorphism]{Homöomorphismus} für alle \(i \in I\).
\end{definition}

\begin{theorem}\label{thm:path-lifting}
  Sei \(\typesto{q}{X \to Y}\) eine
  \hyperref[def:covering]{Überlagerung} und
  \(\typesto{\gamma}{\unit \to Y}\) ein \hyperref[def:path]{Weg} mit
  \(x \in X\), \(q(x) = \gamma(0)\). Dann existiert ein eindeutiger
  Weg \(\typesto{\tilde{\gamma}}{\unit \to X}\) mit
  \[
    q \circ \tilde{\gamma} = \gamma\qquad \tilde{\gamma}(0) = x
  \]
\end{theorem}

\begin{definition}
  Der \mel{Abbildungsgrad}{def:winding-nr} einer stetigen Abbildung \(\typesto{f}{\sphere{1} \to \sphere{1}}\) ist \(\mathrm{deg}(f) \coloneq \tilde{f}(1) - \tilde{f}(0)\) für eine
\end{definition}

\begin{example}[Fundamentalgruppe des Kreises]
  % TODO
\end{example}

\section{Beweise}\label{sec:proofs}
\begin{proof}[\bfseries \upshape Lemma von Urysohn]\hspace{0pt}
  \begin{description}
  \item[\pfrom] Betrachte die disjunkten Mengen
    \(O_{0} \coloneq \preimage{f}{\left[0, \frac{1}{2}\right]}\) und
    \(O_{1} \coloneq \preimage{f}{\left[\frac{1}{2}, 1\right]}\). Da
    \(f\) stetig ist sind die Mengen offen als Urbilder von den in
    \(\unit\) offenen Mengen \(\left[0, \frac{1}{2}\right)\) und
    \(\left(\frac{1}{2}, 1\right]\) und es gilt
    \(A_{0} \subseteq O_{0}\) und \(A_{1} \subseteq O_{1}\). Also ist
    \(X\) normal.
  \item[\pto] Ist \(\emptyset = A_{0} = A_{1}\) ist
    \(i \mapsto 0\) eine Urysohn-Funktion.
    Gilt hingegen \(\emptyset \neq A_{0}, A_{1}\) so sei
    \begin{align*}
      D &\coloneq \bigcup_{n \in \N}D_{n} \subseteq \unit\\
      D_{n} &\coloneq \{k \cdot 2^{-n} \mid k = 0,1,2,3,\dots,2^{n}\}
    \end{align*}

    die Menge der dyadischen Zahlen. Idee ist nun, jedem \(d \in D\) eine offene Menge \(O_{d} \subseteq X\) zuzuordnen, sodass
    \begin{itemize}
    \item \(A_{0} \subseteq O_{d}\) für alle \(d \in D\)
    \item \(A_{1} \subseteq O_{1} \coloneq X\) und
      \(A_{1} \cap \closure{O_{d}}\) für alle
      \(d \in D \setminus \{1\}\)
    \item \(\closure{O_{e}} \subseteq O_{d}\) für alle \(s < r \in D\)
    \end{itemize}

    \begin{center}
      \begin{tikzpicture}
        \path[fill=Secondary,use Hobby shortcut,closed=true] (0,0) .. (.5,.2) .. (.8,.8) .. (.3,1);
        \node [label={[text=Secondary] below right:$A_{0}$}] (A0) at (.5,.5) {};

        \foreach \n / \r in {0/1, {\sfrac{1}{8}}/1.6, {\sfrac{1}{4}}/2.2}{
          \draw[open, draw=Primary] (A0) circle[radius=\r];
          \node[text=Primary] at ([shift=({45 - 10 * ln(\r)}:\r-0.3)]A0) {\footnotesize \(O_{\n}\)};
        };

        \foreach \n / \r / \s in {{\sfrac{3}{8}}/2.8/60,{\sfrac{1}{2}}/3.4/45}{
          \draw[open, draw=Primary] ([shift=(\s:\r)]A0) arc (\s:-\s:\r);
          \node[text=Primary] at ([shift=({45 - 10 * ln(\r)}:\r-0.3)]A0) {\footnotesize \(O_{\n}\)};
        };

        \draw[open, draw=Primary] ([shift=(37:4)]A0) arc (37:-37:4);
        \node[text=Primary] at ([shift=(30:3.7)]A0) {\footnotesize \(\cdots\)};

        \begin{scope}[xshift=5cm]
          \path[fill=Secondary,use Hobby shortcut,closed=true] (0,0) .. (.5,.5) .. (.8,.6) .. (.1,1);
          \node [label={[text=Secondary] below right:$A_{1}$}] (A1) at (.5,.5) {};
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
    \end{center}
  \end{description}
\end{proof}

\begin{proof}[\bfseries \upshape Fortsetzungssatz von Tietze]
  Es gelte (ohne Beweis) für \(\typesto{f}{A \to \R}\) mit
  \(\image{f}{A} \subseteq [-1,1]\), dass eine stetige Fortsetzung
  \(\typesto{F}{X \to [-1,1]}\) existiert mit \(\restr{F}{A} = f\).

  \(\R\) ist homöomorph zu \(\ball{1}{0} = (-1,1)\) mit
  \(\typesto{\phi}{\R \to (-1,1)}\). Mit obigem Lemma angewandt auf
  \(f' \coloneq \phi \circ f\) erhalten wir eine stetige Abbildung
  \(\typesto{F'}{X \to \R}\) mit \(\restr{F'}{A} = f'\) und
  \(\image{F'}{X} \subseteq [-1, 1]\). Sei nun
  \(\typesto{h}{X \to [0,1]}\) die Urysohn-Funktion der disjunkten
  abgeschlossenen Mengen \(\preimage{F'}{\{-1, 1\}}\) und \(A\). Dann
  gelten für \(F''(x) = h(x) \cdot F'(x)\) die Bedingungen
  \(\restr{F''}{A} = f'\) und \(\image{F''}{X} \subseteq (-1,1)\). Die
  gesuchte stetige Fortsetzung von \(f\) ist dann
  \(\typesto{F \coloneq \inv{\phi} \circ F''}{X \to \R}\).
\end{proof}

\begin{proof}[\bfseries \upshape Tarski's Ultrafiltersatz]\hspace{0pt}
  \begin{enumerate}
  \item Sei \(\Phi\) die Menge aller Filter, die
    \hyperref[def:filter-fine]{feiner} als \(\mathcal{F}\) sind.
    \(\Phi\) wird durch \(\subseteq\) geordnet. Ist
    \(\phi \subseteq \Phi\) eine \hyperref[def:chain]{Kette}, dann ist
    \(\bigcup_{\psi \in \phi}\psi\) ein Filter und maximales Element
    von \(\phi\). Also ist \(\Phi\) induktiv geordnet und besitzt nach
    dem \hyperref[lem:zorn]{Zornschen Lemma} ein maximales Element,
    den Ultrafilter \(\mathcal{G}\).\qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proof}[\bfseries \upshape Satz von Tychonow]\hspace{0pt}
  \begin{description}
  \item[\pfrom] Seien
    \(\typesto{p_{i}}{\prod_{i \in I}X_{i} \to X_{i}}\) die stetigen
    Projektionen.  Da \(\prod_{i \in I}X_{i} \to X_{i}\) kompakt ist
    sind nach \hyperref[lem:image-compact]{Lem.} die Bilder
    \(p_{i}(\prod_{i \in I}X_{i}) \subseteq X_{i}\) kompakt.
  \item[\pto] Sei \(\mathcal{F}\) ein
    \hyperref[def:ultrafilter]{Ultrafilter} auf
    \(\prod_{i \in I}X_{i} \to X_{i}\). Dann sind die Bildfilter
    \(p_{i}(\mathcal{F})\) Filter auf \(X_{i}\). Da die \(X_{i}\)
    kompakt gilt \(\conv{p_{i}(\mathcal{F})}{x_{i}}\) für ein
    \(x_{i} \in X_{i}\).  \(\mathcal{F}\) soll nun gegen
    \(x \coloneq \family{i \in I}{x_{i}}\) konvergieren.
    Sei nun \(U \in \nbh{x}\) offen, dann existieren \(F \subseteq I\) endlich und \(U_{i} \in \nbh{x_{i}}\) offen mit
    \[
      \prod_{i \in F}U_{i} \times \prod_{i}X_{i} \subseteq U
    \]
    Sei dann \(A_{i} \in \mathcal{F}\) mit
    \(p_{i}(A_{i}) \subseteq U_{i}\). Dann ist
    \(A \coloneq \bigcap_{i \in F} A_{i} \in \mathcal{F}\) mit
    \(p_{i}(A) \subseteq U_{i}\) für alle \(i \in F\), also
    \(A \subseteq U\). Dann gilt \(U \in \mathcal{F}\) und somit
    \(\conv{\mathcal{F}}{x}\).
  \end{description}
  
\end{proof}


\nocite{*}
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\end{document}

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