Glossar für Stochastik und Statistik

Wie ob bei einem Experiment, welches \(n\) mal wiederholt wird, ein Ereignis eingetreten ist.

Verallgemeinerung des Erwartungswerts (Fall \(k = 0\)), für \(k \in \left\{ 1, 2, 3 \right\}\) mit \[ m_k = m_k(P) = \Sigma_{x\in\chi} x^k f(x). \]

Falls \(m_k\) divergiert, existiert das \(k-te Moment\) für diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht.

Siehe auch Momenterzeugende Funktion.

Aus den Axiome der Wahrscheinlichkeitsfunktion lässt sich für ggf. Disjunkte Ereignisse \(A\) und \(B\), \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] berechnen.

Es gilt für alle \(A \in \mathcal{A}\) einer Mengenalgebra:

1. \(0 \leq P(A) \leq 1\)
2. \(P(\Omega) = 1\)
3. \(P(A + B) = P(A) + P(B)\), für Disjunkte Ereignisse \(A\) und \(B\).

Aus diesen lässt sich die Allgemeine Additionsregel für Ereigniswahrscheinlichkeiten berechnen.

Für ein Ereignis \(A\) und eine Partition \(B_n\) gilt \[ P(B_k|A) = \frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\Sigma_n(A|B_n)P(B_n)}. \]

Für zwei Wahrscheinlichkeiten \(A\) und \(B\) aus einem Wahrscheinlichkeitsraum, ist \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] die bedingte Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung \(B\).

Ein Bernulli-Experiment mit der „Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\)“ ist ein Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega_0, \mathcal{A}_0, P_0)\) mit:

• \(\Omega_0 = \left\{ 0, 1 \right\}\)
• \(\mathcal{A}_0 = 2^{\Omega_0}\)
• \(P\{1\} = p\)

Es ist die Grundlage von Bernulli-Versuchsreihen.

Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment \(n\) mal, nennt man dieses eine Bernulli-Versuchsreihe \((\Omega_n, \mathcal{A}_n, P_n)\) der Länge \(n\), mit \[ \Omega_n = \left\{ (\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n) \;|\; \delta_i \in \left\{ 0, 1 \right\} \right\}. \]

Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses \(A_k = (\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n)\) beträgt dann \[ P_n(A_k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}, \] für \(k = 0, 1, \ldots, n\).

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf \(\{0, 1, 2, \ldots, n\}\) mit \[ f(k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \]

Siehe auch Bernoulli-Experiment, Bernulli-Versuchsreihe.

Beschreibt Anzahl der Möglichkeiten ohne Beachtung der Reihenfolge \(k\) Elemente aus einer Menge von \(n\) Elementen zu ziehen (eg. „Urnenmodell“).

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Eine Funktion \(f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) einer Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit \[ f(\omega) = P(\{ \omega \}) \]

Siehe auch Laplace Verteilung, Hypergeometrische Verteilung, Binomial Verteilung, Geometrische Verteilung, Poission Verteilung.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) mit abzählbarem \(\Omega\) und \(\mathcal{A} = 2^{\Omega}\).

Eine Situation, wo man nicht eindeutig vorhersagen kann, ob es Eintritt oder nicht. Durch Durchführung eines Experiments, kann dieses bestimmt werden.

Ein Ereignis ist eine Teilmenge einer Ergebnisraums.

(auch. Ereignisraum) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse.

Der Erwartungswert (auch (statistischer) Mittelwert, Schwerpunkt) ist durch \[ m_1 = m_1(P) = \Sigma_{x \in \chi} x f(x) < \infty \] definiert, für eine Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P\) mit Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f\), mit \(\chi \subset \mathbb{R}\). Wenn \(m_1\) gegen ∞ divergiert, besitzt \(P\) keinen Mittelwert.

Siehe auch Absolute Momente (Verallgemeinerung).

Für eine Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(n)\) ist die Funktion \[ \hat{f}(z) := \Sigma_{n=0}^{\infty} f(n)z^n, \quad 0 \geq z \geq 1 \] die erzeugende Funktion von der Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P\).

Siehe Zufallsexperiment.

Eine Versuchsreihe \(A_1, A_2, \ldots\) ist Gedächtnislos, wenn für alle \(m, n = 0, 1, 2, \ldots\) gilt \[ P(A_{m+n}|A_m) = P(A_n). \]

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf \(\{1, 2, \ldots, n\}\) mit \[ f(n) = p(1-p)^{n-1} \]

Beschreibt das erstmalige eintreten nach \(n\) Versuchen eines Ereignisses unter Annahme der Gedächnisslosigkeit.

Das empirische Phänomen das für zunehmend Häufig durchgeführte Experimente, die Relative Häufigkeit \(H_n(E)\) sich der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) annähert.

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf \(\{0, 1, 2, \ldots, n\}\) mit \[ f(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]

Beschreibt Wahrscheinlichkeiten wie „\(k\) schwarze Kugeln unter \(n\) gezogenen“. Siehe auch Binomialkoeffizient.

In einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), wo Ω eine endliche Menge ist, \(\mathcal{A}\) alle Teilmengen von Ω enthält, und für \(P\) \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \] gilt.

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω mit \[ f(\omega) = \frac{1}{|\Omega|} \]

Siehe auch Laplace Experiment.

Eine Menge \(\mathcal{A}\) für die Gilt

1. \(\Omega \in \mathcal{A}\)
2. \(A \in \mathcal{A} \Rightarrow \bar{A} \in \mathcal{A}\)
3. \(A, B \in \mathcal{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{A}\)

Die kleinste Mengenalgebra muss dementsprechend \(\mathcal{A} = \left\{ \Omega, \emptyset \right\}\) sein. Außerdem sind diese unter Vereinigung, Disjunktion und Durchschnittsbildung geschlossen.

Für Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P\) mit \(\Omega = \chi \subset [0, \infty)\), ist \[ M(t) = \Sigma_{x\in\chi} e^{tx}f(x), t > 0 \] die momenterzeugende Funktion von \(P\).

Leitet man diese Funktion \(k\) mal ab, bekommt man für \(M^{(k)}(0)\), das \(k\)’te Absolute Momente.

Eine Folge von Ereignissen \(B_n \in \mathcal{A}\) die paarweise disjunkt sind heißen Partitionen.

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf \(\{0, 1, 2, \ldots, n\}\) mit \[ f(k) = \frac{\mu^k}{k!} e^{-\mu}, \mu > 0 \]

Beschreibt das eintreten eines Ereignis das zu zufälligen Zeitpunkten eintritt.

Prozentsatz von \(n\) Versuchen eines Experiments, bei denen ein Ereignis eingetreten ist.

Über die Absolute Häufigkeit als \[R_n(E) = \frac{H_n(E)}{n}\] definierbar.

Eine Mengenalgebra mit der Eigenschaft \(\mathcal{A}\) \[ \left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right) \in \mathcal{A} \] für alle Folgen \(A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{A}\)

Siehe Erwartungswert.

Zwei Bedingte Wahrscheinlichkeiten \(A\) und \(B\) aus einem Wahrscheinlichkeitsraum sind stochastisch unabhängig wenn \[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \] gilt.

Allgemein, wenn für alle Kombinationen von \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) gilt \[ P(A_{\alpha} \cap A_{\beta} \cap \ldots \cap A_{\zeta}) = P(A_{\alpha}) P(A_{\beta}) \cdots P(A_{\zeta}) \] redet man von globaler stochastischer Unabhängigkeit.

Beschreibung der mittleren (quadratischen) Abweichung der Ergebnisse vom Erwartungswert. Analog zum zweitem Absolutem Moment.

Berechnet mit \[ \hat{m}_2 = \hat{m}_2(P) = \Sigma_{x\in\chi}(x-m_1(P))^2 f(x) \]

Ereignisse, welche durch und, oder verknüpft oder durch nicht negiert werden, beschreiben neue Ergebnisse.

Mit der Mengendarstellung von Ereignissen, kann \[ A \cup B = \left\{ \omega \in \Omega \;|\; \omega \in A \;\text{oder}\; \omega \in B \right\} \] \[ AB := A \cap B = \left\{ \omega \in \Omega \;|\; \omega \in A \;\text{und}\; \omega \in B \right\} \] \[ \bar{A} = \left\{ \omega \in \Omega \;|\; \omega \notin A \right\} \] formuliert werden. Sind \(A\) und \(B\) disjunkt, kann \(A \cup B\) auch \(A + B\) geschrieben werden.

Zahlenmäßige Bewertung dass ein Ereignis eintritt.

Mathematische Bezeichnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Teil einer Mengenalgebra \(\mathcal{A}\), in Form einer Abbildung einer \(\mathcal{A} \rightarrow [0, 1] \subset \mathbb{R}\).

Es gelten die Axiome der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Ein Tupel \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) bestehend Ergebnismenge \(\Omega\), σ-Algebra und einer Wahrscheinlichkeitsfunktion \(P\).

Für \(k = 2, 3, \ldots\) wird \[ \hat{m}_k(P) = \Sigma_{x\in\chi}(x-m_1(P))^k f(x) \] das \(k\)’te zentrale Momente von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P\) genannt.

Siehe auch Absolutes Moment.

Ein konkreter oder in Gedanken durchführbarer Vorgang, der sich unter den gleichen Umständen wiederholen lässt. Vor der Ausführung lässt sich nicht sagen zu welchem Ereignis das Experiment führen wird.

Eine Zufallsvariable \(X\) beschreibt ein Urbild im Definitionsbereich einer Wahrscheinlichkeit. So ist \[ (X = y) = \left\{ \omega \in \Omega \;|\; X(\omega) = y \right\} \in \mathcal{A}, \] für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.